Zadatak dana: kazaljke sata – ili Kad se sve poklopi

Sjećate li se prije godinu dana ugašene društvene mreže Google+? Ondje je nekad u 2017. godini Veky (docent Vedran Čačić s PMF-a) podijelio sljedeći zadatak:
 
Na analognom satu na kojem se sve tri (sat, minuta, sekunda) kazaljke pomiču kontinuirano, hoće li se ikad dogoditi da se sve tri nalaze unutar kuta od 1°?

Traži se vrijeme strogo između 0:0:1 i 11:59:59.

Kada se Google+ gasio, preuzeo sam arhivu svoje aktivnosti i tako došao i do tog zadatka i svojega rješenja koje sam bio napisao u komentarima. Evo tih komentara:
 
[Adrian]
3:16:16.3 i 8:43:43.7, dobiveno simulacijom po kutnim sekundama u Pythonu.
 
[Veky]
Hm, zanimljivo. 🙂 Ali nisam baš mislio na simulaciju, bar ne tako grubu. Probaj odgovoriti jesu li ikad unutar pola stupnja onda. 🙂
 
[Adrian]
1 kutna sekunda = 1/60 kutnih minuta = 1/3600 kutnih stupnjeva, što je vrlo fina simulacija. Poanta je da se može simulirati proizvoljno precizno, s brzinama kazaljki x, 12x i 12*60x.
 
[Veky]
Kad je već tako fina, odgovori na moje pitanje. 😀
 
(Ovdje sam bio zapeo. Programirao sam sve precizniju i precizniju simulaciju, kazaljke su se kretale beskonačno sporo, ali kut je uvijek ispadao mrvicu veći od pola stupnja. Vjerovao sam da je riječ o manjku preciznosti pri računanju realnim brojevima i da pravi kut iznosi točno pola stupnja, ali nisam bio dovoljno siguran da bih išta odgovorio. Sjetio sam se toga nakon više od godine dana pregledavajući history kad je Google+ upozorio da će se ugasiti.)
 
[Adrian]
Da odgovorim na ovo dok se Google+ ne ugasi 🙂 Simulacijom sam dobivao razliku toliko blizu 0.5 stupnjeva (ali ipak veću, nešto tipa 0.500x…) da sam mislio da se u stvarnosti postiže točno 0.5, ali da simulacija nikad ne može dobiti taj egzaktan položaj. Danas sam izguglao matematičko rješenje (manje je pametno nego što sam mislio) i vidio da najmanja razlika iznosi 360/719 = 0.5007 stupnjeva. Znači, simulacija je točno odgovarala na pitanje. Pouka: vjeruj kompjuteru čak i kad se čini da griješi.
 
Matematičko rješenje ostaje tajna – njega ostavljamo čitateljici za vježbu. Ali poruka je jasna.
 
Kao bonus, podijelit ću s vama dva članka o kazaljkama sata, objavljena prije mnogo godina u časopisu Matka. Prvi je članak Vladimira Devidéa iz 2000. godine o vjerojatnostima poklapanja kazaljki, a drugi je moj članak iz 2008. godine o pravilnim prikazima na digitalnom satu. Zanimljivo je da je vjerojatnost popuno različitih stvari u oba članka ispala jednaka – poklopila se. Slučajno ili ne?
 

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s