Knjiga koja se čita godinama

Govori se ovih dana o novom nobelovcu, fizičaru Rogeru Penroseu. Moj susret s njim dogodio se (i još se događa) kada mi je Ante Đerek povodom obrane doktorata poklonio njegovu knjigu The Road to Reality. Način da nekoga upoznamo, da uđemo u tuđi um i izravno čujemo njegove riječi, to su knjige. Oblik komunikacije, kao i blogovi i chat poruke, samo dulje i rjeđe. (Znam da je neobično objašnjavati što su knjige, ali možda je dobro.) Spomenuta The Road to Reality Penroseova je chat poruka od preko tisuću stranica u kojoj on, praktički od nule, pokušava objasniti svemir i sve njegove fundamentalne formule. Ovo je moj primjerak:

Prvu trećinu knjige čini sama matematika koja je potrebna za fiziku u ostatku knjige. Jedva čekam da dođem do fizike, jer matematika je pomalo naporna; već dugo sam stao na ovom mjestu jer (razumljivo) baš mi se i ne da:

Nedostaje mi samo malo discipline; nekoliko stranica dnevno i brzo bih prešao dosadne dijelove. Nema žurbe, to je projekt u kojemu se uživa godinama. Kao i poezija za koju sam nedavno naučio da ne treba čitati više od jedne pjesme dnevno – te su pjesme (neovisno o duljini) često mnogo “sporije” od matematike. Kad je Dylan pitao Cohena koliko mu je trebalo da napiše pjesmu Hallelujah, odgovor je bio dvije godine, iako kažu da mu je zapravo trebalo pet godina. Ja ću je možda razumjeti za deset. Penrose je ovu knjigu (The Road to Reality) pisao osam godina. Da je pisao brže, možda bi napisao više knjiga, ali one bi bile lošije. Manje je više (less is more) i vrijeme treba ispuniti (bolje rečeno isprazniti) jednostavnim ritualima: gašenjem konekcije, malim kavama s mlijekom koje se dugo ispijaju, stranicama koje se dugo i polako čitaju. Trebale su nam tisuće godina za razumijevanje svemira (i nismo još gotovi), a sada to znanje imamo na tisuću stranica jedne knjige. Stoga ako i cijeli život čitamo samo tu knjigu, vrijedno je. Iz te perspektive sljedeći vic u sebi nosi duboku mudrost: kad je Mujo pitao Hasu što želi za rođendan, želi li možda knjigu, Haso je odgovorio da već ima jednu.

Digresija: suvišnost matematike i jedna nova igra

Real mathematics is almost wholly useless.

– G. H. Hardy, “A Mathematician’s Apology

Teorija brojeva nekada je (u vrijeme gornjeg citata) bila praktično beskorisna, ali onda se pojavila kriptografija. Netko anoniman na internetu je napisao: “Mathematicians have had an exceedingly difficult time finding truly useless mathematics. And they’ve been trying for thousands of years.” Poanta nije u tome da velik dio matematike kad-tad nađe svoju primjenu, nego u tome da u početku ta primjena ne postoji – i zato je Hardyjev citat istinit. Ima nešto poetično, a mnogima i nejasno, u matematičaru koji proučava neka opskurna svojstva prirodnih brojeva ili tako nečega, dugo nakon što je prerastao natjecanja i nadmetanja s kolegama, ne zato, nego iz čiste želje i užitka. Iz istog razloga iz kojeg netko drugi rješava sudoku, skuplja salvete, čita hrvatsku poeziju ili proučava analitičke filozofe koji ne zanimaju nijednog od njegovih poznanika.

To ne razumiju oni ljudi (a ima ih mnogo) koji su uvijek goal-oriented, koji svemu traže svrhu i ne vide ljepotu suvišnog – onoga što uopće ne trebamo raditi. Takvi obično ne razumiju umjetnost i uvijek se pitaju što netko želi postići, koje su mu namjere, koja je poruka. Nema poruke! Nema drugih namjera! Takvi bi imali problema i s razumijevanjem ovog bloga. Jer on uza sve svoje korisne stvari, ruku na srce, obiluje i beskorisnim idejama o koječemu. Da budem potpuno jasan, one nemaju nikakvu svrhu, osim samih sebe, svoje potencijalne zanimljivosti i ljepote. Tako je, recimo, Igor Stravinski rekao da glazba nije sposobna izraziti ništa osim sebe same. Very true!

U duhu ovih odlomaka odlučio sam ovdje podijeliti jednu igru koju sam izmislio u snu. (Toliko je čudna da je i mogla nastati samo u snu.) Najprije valja spomenuti postojeću igru The Game koja se igra cijeli život i ima samo jedno pravilo: svaki put kada igrač pomisli na tu igru, on gubi. Cilj je, dakle, ne misliti na tu igru – igra se pobjeđuje misleći o drugim stvarima. Postoje majice na kojima piše “You lose The Game!” koje uzrokuju mnoge poraze u igri (onih igrača koji vide tu majicu).

E sad, igra koju sam izmislio nije naročito originalna u smislu da je potpuno ista kao The Game, samo ima drugačije ime: zove se The Game Too. Ovaj too dolazi kao igra riječima prema The Game 2, tj. The Game Two (druga verzija Gamea).

Odmah se postavlja vrlo opravdano pitanje jesu li dvije igre koje imaju potpuno ista pravila zapravo iste, je li riječ o plagijatu. No ovdje je situacija specifična. Poanta postojanja igre s drugačijim imenom leži u njezinom odnosu s prvom, standardnom igrom. Jer sada postoje igrači koji igraju obje igre. I svaki put kada netko od njih pomisli na The Game, postoji solidna šansa da pomisli i na The Game Too, i onda njegova izjava glasi: “I lost The Game, and I lost The Game Too!” (Vidite li sada svrhu igre riječima two -> too? :))

Postoje i druga zanimljiva pitanja vezana za odnos između ovih igara. Recimo, hoće li se nekome od igrača koji igraju obje igre dogoditi da se sjeti The Gamea, ali zaboravi na The Game Too? A je li moguće, je li ikako moguće, da se sjeti samo The Game Too? Hoće li postojati igrači koji će čuti samo za The Game Too i tako uvijek pobjeđivati u The Gameu, za koju nikada neće čuti? To će biti rijetki sretnici; njima moramo “prodati” neko drugo objašnjenje za ovaj Too da ih ostavimo u neznanju o postojanju standardne inačice igre.

Postoje prijepori oko toga igraju li The Game svi ljudi na svijetu ili samo oni koji znaju za tu igru. Kao autor i apsolutni gospodar igre The Game Too, odlučio sam definirati da tu igru igraju svi na svijetu. To znači da velika većina ljudi na svijetu stalno pobjeđuje u The Game Too (naravno i oni koji gube u The Game) i to je jako dobro. Širenjem glasa o novoj igri povećat će se broj njezinih gubitnika, što je s jedne strane loše (nitko ne voli gubiti), ali s druge strane dobro, jer povećava broj potencijalnih novih igara – novih inačica The Gamea – koje će ti ljudi izmisliti. Vidite, postoji vrlo razuman razlog zašto nisam otišao dalje i izmislio, recimo, The Game Three ili tako nešto – zato jer u takvoj igri onda ne bih pobjeđivao. Moj je cilj da drugi ljudi po uzoru na mene izmisle mnogo, što više novih inačica The Gamea u kojima ću onda ja (budući da ne znam za njih) uvijek pobjeđivati.

Everybody’s gangsta until you invert

Prijatelj Bruno Gašperov i ja imali smo raspravu oko jednog YouTube videa, točnije jedne slike koja je u njemu prikazana, a navodno oslikava inverz:

Bruno je primijetio da ovaj meme zapravo ne predstavlja inverz funkcije. Štoviše, on nema nikakve veze s inverzom. Što je na prvoj slici x, a što f? Je li riba x a mačka f()? Onda je f preslikavanje x -> pojedeni x, pa bi inverz trebalo biti nešto što pojedeni x vraća u x. Dakle, na drugoj slici bi trebalo biti nešto što pojedenu ribu pretvara u originalnu. Zapravo je povraćanje inverz, zaključio je Bruno.

Odgovorio sam da on želi prikazati f^{-1}(y), ali da slika prikazuje f^{-1}(x). Bruno je zaključio da to baš i nema smisla. Ako je f nešto što neki objekt pretvara u pojedeni objekt, onda je f^{-1} nešto što pojedeni objekt pretvara u nepojedeni. Domena od f su nepojedeni objekti, kodomena pojedeni. f^{-1} nije definiran na elementu domene, tj. na x. Dakle, f^{-1}(riba) ne postoji.

A čak i ako shvatimo da f^{-1}(riba) postoji, objašnjavao je Bruno, f^{-1} i dalje undo-a čin jedenja. Onda bi f^{-1}(riba) (za nepojedenu ribu) bio neki z koji, kad ga pojedeš, dobiješ nepojedenu ribu. Možda neka riba u ovojnici?

Složio sam se i zaključio da slika zapravo ne opisuje inverz nego reverse, okretanje poretka (mačka jede ribu -> riba jede mačku). Ali onda sam krenuo razmišljati može li se slika ipak nekako shvatiti tako da ima smisla kao inverz, tj. postoji li neko drugo, pametnije tumačenje što je x, a što je f. Pasivno razmišljajući dvadesetak minuta uz zujanje i kavu, nakon nekoliko krivih ideja, našao sam odgovarajuće tumačenje.

Ako je f(x) = onaj tko jede x, onda je na prvoj slici f(riba) = macka. To znači da je f^{-1}(macka) = riba. I onda druga slika prikazuje f^{-1} kao što prva prikazuje f!

Neovisno o dojmu da je takav f malo neprirodan, Bruno je primijetio da je onda čudno da je druga slika, koje prikazuje f^{-1}(x), tj onog koga jede x, vizualizirana na isti način. Bilo bi smislenije da je druga slika identična prvoj. Za drugu sliku treba biti f^{-1}(macka)=riba, što znači da mačka jede ribu, no na slici riba jede mačku. Na toj slici, dakle, “biti pojeden” su vizualizirali kao “jede” što nema baš smisla.

Odgovorio sam da nije tako nelogično ako shvatimo na sljedeći način. Za početak zaboravimo ikakvo jedenje i samo definirajmo f(riba)=macka, dakle f^{-1}(macka)=riba. Dalje uzmimo da slika vizualizira proizvoljnu funkciju na način da stavi x u usta onoga u koga se on preslikava. I sad jednostavno prva slika vizualizira f, a druga f^{-1}. Kao graf! Je li graf funkcije sinus identičan grafu njenog inverza (arcsin)? Ovdje je analogna situacija.

Bruno odgovara da onda relacija jedenja oslikana na slici zapravo samo indicira što je x a što je y, a ne govori ništa o samoj funkciji f. Nisam se baš složio: indiciranje što je x a što y jednoznačno opisuje funkciju. Funkcija nije drugo nego skup parova x, f(x). Slika prikazuje taj skup, točnije, jedan njegov dio. Govori nam o jednom paru x \to y (riba i mačka). Možda ih ima još, možda nema.

Bruno je ponovio prigovor od ranije. Ako je f(riba) = macka, onda je f^{-1}(macka)=riba. f(x) je onaj tko jede x, f^{-1}(x) je onaj koga jede x. Problem je što f(x) i f^{-1}(x) nisu vizualizirane na isti način. Trebale bi biti ista slika!

Odlučio sam se bolje izraziti. Zapravo, nije točno da je f(x) onaj tko jede x. Nego samo na slici vrijedi da je za funkciju na slici f(x) onaj koji jede x. Jedenje je samo vizualizacija neke funkcije koja sama po sebi neme veze s jedenjem. Isto kao što sinus nije “valovit” sam po sebi nego tek kad mu nacrtaš graf u Kartezijevoj ravnini. U tom smislu, f i f^{-1} jesu vizualizirane na isti način i sve je smisleno. Primjerice, “9 jede 3” bila bi analogna slika koja vizualizira kvadriranje, a “3 jede 9” korjenovanje i ništa nije čudno.

Bruno je shvatio. Dakle, imamo neku funkciju koja preslikava x (ribu) u y (mačku), i ta funkcija je (sasvim slučajno) prikazana tako da y jede x (mogli smo prikazati i kao da y pije x ili nešto treće). Jedenje samo indicira što je element domene x (jedeno), a što odgovarajući element kodomene y (jedač). I onda na drugoj slici želimo nacrtati inverz i stavimo obrnuto, da x (riba) jede y (mačku) jer su sad domena i kodomena obrnute. (Kao u slučaju grafova sinusa i arcsinusa.) I u tom smislu relacija jedenja ništa ne govori o samoj funkciji f jer smo funkciju mogli vizualizirati i nekom drugom relacijom, već je proizvoljno odabrana ta relacija da poveže element domene i kodomene. Slika je samo oznaka.

Bruno je onda predložio bolji meme za inverz:

… jer sad ne moramo toliko apstraktno ići, u skladu je sa slikama. f(x) je dobiti na lutriji, f^{-1}(x) potrošiti novac u kockarnici.

Komentirao sam da bih ovaj cijeli razgovor (u ispoliranom obliku) volio staviti na Blogaritam. (Ovaj meme na kraju, doduše, može se doimati politički nekorektnim. Kao, muškarac dobiva novac, a žena ga spiska. No dobro je što muškarac na slici nije zaradio novac, nego dobio na lutriji, pa ne ispada da muškarac zarađuje za ženu.)

Za kraj, Bruno je primijetio da autor originalnog memea sigurno nije imao našu interpretaciju na umu. On je zabrijao, ali ipak je dobro ispalo. Kao kad izgovorite nešto glupo, ali to iz nekog razloga na koji niste računali ispadne duhovito pa slučajno impresionirate ljude. Događalo mi se nekoliko puta.

Statistika i (neki) statističari

COVID! Napokon nešto o Covidu! Aaaaa! Prije mjesec dana pojavio se kontroverzni preprint (preprint znači znanstveni članak koji tek treba proći recenziju i biti prihvaćen za objavljivanje u časopisu) među čijim je autorima nekoliko naših znanstvenika (između ostalih Alemka Markotić, Dragan Primorac i Gordan Lauc). Ugrubo, članak na temelju određenih podataka o europskim pacijentima zaključuje da je ljetni covid manje opasan od zimskog. Kontroverzan je zato što je, s jedne strane, dobio dosta medijskog publiciteta i u nas i u inozemstvu, a s druge strane kritike od izvrsnog mladog znanstvenika Jana Homolaka i njegovih suradnika. Oni su kritizirali statističke metode kojima su Lauc i ekipa iz podataka došli do odgovarajućih zaključaka. Statistika nije moje područje pa toj raspravi (koja se proširila na Twitter i Facebook) ne mogu doprinijeti, osim ovakvim dijeljenjem koje nas, ako ništa drugo, može zainteresirati i dati dobar uvid u znanstvenu metodologiju.

A statističari bi ovu priču mogli rasvijetliti, te iz gomile složenih podataka koje je moguće tumačiti na tisuću načina izvući uzročno-posljedične veze. Statistikom se inače bavi naš prvi zlatni IMO-vac Domagoj Ćevid, a o nekim zanimljivostima govorio je ovdje (ako vas zanima više, poslušajte cijeli intervju).

Nedavno sam čitao o jednoj pogrešnoj, a nažalost vrlo utjecajnoj statistici. Krajem prošlog stoljeća istraživanja su (ugrubo) kazivala da ljudi koji piju prosječno 1-2 alkoholna pića dnevno imaju najbolje zdravlje, točnije, bolje od onih koji piju više ili ne piju ništa. Takav narativ svakako je poticao konzumaciju alkohola, no on je pogrešan:

But there was a problem with many of these studies: They compared drinkers to non-drinkers (…). And people who don’t drink are pretty fundamentally different from drinkers in ways that are hard to control for in a study. Their lives probably look dissimilar. Most importantly, they may be sicker at baseline (perhaps they quit drinking because of alcoholism, or because of a health issue like cancer). And something in these differences — not their avoidance of alcohol — may have caused them to look like they were in poorer health than the moderate drinkers. (This became known as the “sick quitter” problem in the world of alcohol research.)

Matematičarima je to možda strano, ali u znanosti (nažalost) ključnu demonstrativnu ulogu igraju eksperimenti i njihova analiza. U računarstvu, gdje se u znanstvenom radu obično predlaže neki algoritam, model, metoda ili protokol, eksperiment se sastoji od testiranja ili simulacije predložene metode na odabranim testnim podatcima, pri čemu je često važna usporedba s alternativnim, postojećim metodama. U medicini ili psihologiji eksperimenti se rade na ljudima koji se dijele na ove ili one skupine i moguće je pogriješiti na stotinu načina – što u izvedbi eksperimenta, što u tumačenju rezultata. Jedno od najvažnijih svojstava je ponovljivost, što znači: ako neki drugi istraživač neovisno izvede isti eksperiment, morao bi dobiti vrlo slične rezultate. Ovdje je zanimljivo da je 2015. godine provedena studija koja je pokušala replicirati razne rezultate prethodnih psihologijskih istraživanja, nažalost s razočaravajućim rezultatima.

Čovjek bi rekao da je u matematici provjera najlakša, jer riječ je o egzaktnoj znanosti – dokaz ili je ispravan, ili ima grešku u zaključivanju i ozbiljni matematičari (gotovo) uvijek će se međusobno složiti jer logika govori sama za sebe. Nekad je tu grešku lako detektirati – godišnje se pojavi stotinjak amaterskih “rješenja” velikih matematičkih problema poput dokaza da je P ≠ NP. Ipak ima i slučajeva kada su i najozbiljniji matematičari u nesuglasju, no takvi slučajevi vrlo su rijetki. O jednom od njih pisao sam u postu Matematika i (neki) matematičari.

Tema dana: skakanje po neboderima (ili: Ne pokušavajte ovo kod kuće)

Prije petnaest godina, na jednom od prvih “težih” državnih natjecanja za osnovne škole (koje bi za današnje standarde bilo relativno lagano) pojavio se zadatak Spiderman u kojemu glavni lik (koji se zove “Spiderman”) skače po nizu nebodera zadanih visina.

Sedam godina poslije na HIO-u sam zadao nešto teži zadatak Trampolin sa sličnom tematikom skakanja po nizu nebodera, ali modernijim i suvremenijim glavnim likom. Riječ je o solidnom zadatku adhocness levela 2 koji je dobar za clear thinking jer treba pažljivo i što elegantnije pokriti sve slučajeve, a i rezultati pokazuju da to nije bilo baš lako – doduše, tada nije bilo feedbacka za vrijeme natjecanja.

Nakon još četiri godine bilo je dosta single junaka pa smo, po uzoru na najnovije filmove Batman v Superman ili Justice League, odlučili da po neboderima ima skakati više junaka. Tako je za JHIO 2016. nastao zadatak Superjunaci prema ideji Mislava Balunovića.

Zanimljivo je da su ove godine autori HONI-ja potpuno zaboravili na trendove i evoluciju tematike koju smo godinama predano razvijali, pa su ponovno zadali zadatak sa zastarjelim Spidermanom. Što reći? Neki bi zauvijek ostali u kamenom dobu.

Kad smo već kod kamenog doba, postoji još jedan moj zadatak u kojemu se umjesto niza nebodera skače po nizu stabala: Jane and Tarzan (o njemu je bilo riječi i u ovom postu). Naravno, Jane i Tarzan u zadatku koriste mobitele.

Kako vježbati?

Kako vježbati? WHO preporučuje barem 150 minuta tjedno aerobne aktivnosti (kao što su džogiranje, plivanje, bicikl) te vježbe jačanja mišića barem dvaput tjedno. Ali ovdje nije riječ o tom vježbanju, nego o natjecateljskom programiranju ili matematici. Na ovom sam blogu već pisao o raznim aspektima vježbanja, a sada to želim nekako sistematizirati.

Ovo pitanje tek rijetki shvaćaju dovoljno ozbiljno; čini mi se da većina pretpostavlja da je odgovor samo rješavaj zadatke ili nešto slično. Ali to je dobar odgovor samo ako:

  1. imamo dovoljno motivacije da redovito radimo;
  2. rješavamo i zadatke koji su dovoljno teški/izazovni, ne samo one koje znamo bez muke riješiti;
  3. imamo izvore novih znanja koji nam omogućuju napredak.

Bez prve točke nedostaje nam kvantiteta, bez druge točke kvaliteta treninga, a bez treće mentorski aspekt. Dobar trening sadrži sve tri komponente. Evo nekih prijedloga…

  1. Za prvu točku potrebna je disciplina. O njoj sam pisao u ovom postu. Ukratko, ako još ne radimo dovoljno redovito, za izgradnju navike dovoljno je svaki dan riješiti jedan lagani zadatak.
  2. Za drugu točku (izazov) potrebno je rješavati zadatke koji su otprilike toliko teški da uspijemo 50% puta, plus minus. Tako se postiže idealna razina motivacije:
    ChallengeMožete za sebe pronaći odgovarajuću razinu na Codeforcesu (npr. 2. zadatak na Div1) ili na HONI-ju (npr. 5. zadatak) i onda rješavati samo zadatke te težine. Jako je važno da neriješene zadatke upsolvate, tj. riješite nakon što pročitate opis algoritma (editorijal) ili pitate nekoga da vam objasni rješenje.
  3. Za treću točku postavlja se pitanje kako naučiti nove stvari. Tu su razna predavanja, knjige, web tutorijali, videi i tako dalje. Važan je i dobar mentor koji će vam, između ostaloga, ukazati na manjkavosti u vašim rješenjima i način na koji se nešto može bolje (vidi post code review).

Rečenica “pitajte nekoga da vam objasni rješenje” zaslužuje dodatni komentar. Nekima je lako pitati, ali sigurno ima onih koji misle da nemaju koga pitati, ili možda imaju, ali se boje da to možda nije pristojno, ne žele gnjaviti ljude, nisu s njima dovoljno dobri i slično. Možda i ne žele ispasti bedaci koji ne znaju riješiti zadatak ili im neka “sitnica” nije jasna. Odgovor je sljedeći. Malo zdrave “bahatosti” u smislu zapitkivanja i traženja pomoći je izvrsna životna kvaliteta. Dakle, bez ikakve zadrške, slobodno zapitkujte svoje poznanike ili čak nepoznanike, natjecatelje koji su malo stariji od vas, na messengeru, mailu ili gdje god. Ako vam je to bed, imajte na umu sljedeće. Osoba koju pitate najčešće neće misliti da je gnjavite, nego će vaše pitanje doživjeti kao kompliment svom znanju i iskustvu. Zamislite da vas netko traži takvu pomoć (kao što kad-tad i hoće), zar to nije lijep osjećaj? Nadalje, pitanjem ćete ostaviti dobar dojam zainteresirane i pristupačne osobe. To nije uvijek intuitivno onome tko se “usuđuje” pitati, ali je zbilja tako. Na primjer, reakcija nastavnika na studenta koji na predavanju postavi pitanje nije “šta ovaj sad hoće” ili “je li ovaj glup”, nego “napokon se netko ovdje ne boji komunicirati!” Ako onaj koga pitate ne želi ili ne može pomoći, najčešće će pristojno reći da nema vremena (ili će pristojno ignorirati) i sve štima. Medalje hrvatske informatike izviru upravo iz sustava u kojemu stariji natjecatelji pomažu mlađima. Neki su gnjavili mene, ja sam svojedobno gnjavio Žužića i Sluganovića, prije toga je Žužić gnjavio Kalinovčića, a danas novi klinci gnjave nove face. Ljudi koji ne žele nikoga gnjaviti gnjavež su sami sebi.

Ljetna poslastica: dvadeset i jedan (“židovski”) matematički zadatak

Najprije mala digresija, naime, zašto sam napisao dvadeset jedan umjesto 21? Zato što ovo drugo nije u duhu jezika. U kontekstu formula je naravno drugačije, ali u običnom tekstu nije; pokušajte zamisliti npr. Šenou, Krležu ili nekog pjesnika da ima znamenke u rečenici. Ružno je! Kao što bi rekao Goran Bare: “Tko razumije, razumije. Tko ne razumije, neće nikad ni razumjeti!” (Ako koga zanima, to je rekao na 0:45 na ovom koncertu.)

Jučer sam naletio na zanimljiv članak sa zadatcima s prijamnih ispita moskovskog matematičkog fakulteta. Članak se zove Jewish Problems jer je riječ o malo težim zadatcima koje su na usmenom ispitu postavljali židovskim kandidatima koje očito nisu naročito voljeli:

“Among problems that were used by the department to blackball unwanted candidate students, these problems are distinguished by having a simple solution that is difficult to find. Using problems with a simple solution protected the administration from extra complaints and appeals.”

Malo sam škicnuo rješenja i čini se da nisu sva baš tako kratka i jednostavna, ali izgleda da su zadatci odlični. Ono što je osobito dobro jest da prije poglavlja Solutions postoji poglavlje Ideas koji sadrži hintove za sve zadatke. To je odlična praksa! Kad sam se ja natjecao, u materijalima toga uglavnom nije bilo. Možda je sad drugačije, ali ako nije, svakako treba biti.

I za kraj, što drugo mogu nego preporučiti knjigu AHA! Matije Bašića! Pod uvjetom da se na ovoj vrućini ne razlijemo po kaučima i mozak nam ne postane toplo varivo.

Jezik i umjetna inteligencija

U jednom od prethodnih postova napisao sam da se umjetna inteligencija, točnije neuronska mreža, može svesti na matematičku formulu. Tehnički gledano to je točno, ali i varljivo jer daje krivu intuiciju: ono što zamišljamo kad čujemo za matematičku formulu, iako “znamo” da je “jako velika i složena”, nije neuronska mreža. Slična pogrešna intuicija koja banalizira moć softvera nalazi se u pozadini Chinese Room argumenta Johna Searlea koji sam spomenuo u istom postu. Tako nam je čudno što svijest, inteligencija ili slobodna volja mogu nastati iz interakcije čestica ili formula/algoritama. Naprosto nemamo osjećaj za pojave koji izviru iz low-level fenomena ako se usredotočimo samo na tu razinu. Andrew Steane u knjizi Science and Humanity piše:

“When we say that a monkey is a collection of atoms and molecules, we are right, but that does not logically imply that we understand monkey behaviour, and furthermore, neither does it imply that our current best understanding of molecules is sufficient to support a correct model of monkey behaviour. In fact, it is the monkey behaviour itself that will teach us what monkey-shaped molecules can do. In this way, the monkey fills our understanding of what molecules are, at the same time as it fills out understanding of what monkeys are.”

Iz istog razloga, filozofske probleme umjetne inteligencije valja rješavati u suprotnom smjeru od onog Searlovog i intuitivnog. Umjesto da iz sastavnih dijelova (umjetnih neurona koji se mogu opisati formulama) zaključujemo za što bi AI mogao ili ne bi mogao biti sposoban, možemo samo obrnuto: iz njegovog ponašanja zaključiti za što su sposobni umjetni neuroni, prikladno organizirani na odgovarajući način. To je u skladu s našim iskustvom o ljudskom mozgu – tko bi na prvi pogled rekao da nakupina stanica može razmišljati i osjećati? I u skladu je s funkcionalizmom: consciousness is what consciousness does. Drugim riječima: If it looks like a duck, swims like a duck, and quacks like a duck, then it is a duck. Ne postoji suština, postoje samo svojstva.

A svojstva (relacije) su ključ razumijevanja umjetne inteligencije koja zna engleski jezik, dopunjava rečenice i odgovara na pitanja. Ugrubo, svaka riječ u njezinom je umu niz od nekoliko stotina brojeva (vektor) takav da značenjski odnosi među riječima odgovaraju matematičkim odnosima među vektorima koji predstavljaju te riječi. Primjeri takvih relacija su man : boy = woman : girl (ovdje omjer ne treba shvatiti doslovno) ili Paris – France + Italy = Rome ili Scientist – Einstein + Picasso = Painter ili Windows – Microsoft + Google = Android. Za detalje i bolje razumijevanje snažno preporučujem ovaj članak.

Netko bi sada mogao uputiti sljedeći prigovor:

AI zna samo odnose među različitim riječima, ali on ne zna pravo značenje nijedne riječi! On bi možda mogao napisati rječnik, tj. svaku riječ objasniti drugim riječima, ali nijednu od tih riječi on u glavi ne bi pridružio stvarnosti, za razliku od čovjeka.

Odgovor nije intuitivan, a glasi da ni mi (ljudi) ne znamo ništa osim relacija. Ako zamišljamo npr. pojam mlijeko, u našem mozgu ne postoji ništa slično mlijeku: sve što postoji je aktivacija određenih sinaptičkih veza, što nije toliko različito od matematičkih veza u AI. Netko će reći da u našoj svijesti postoji slika mlijeka. Ali ta je slika ponovno samo veza s drugim pojmovima: s bijelom bojom, s tekućinom, sa šalicom ili bocom ili tetrapakom ili što god je naša asocijacija na mlijeko i tako dalje. Ni ti drugi pojmovi u našoj glavi nisu drugo nego niz asocijacija. U konačnici dolazimo do osjetilnih pojmova (boje, zvukovi…) za koje možemo reći da ih izravno poznajemo. Ali i oni su u našem mozgu zapisani na način koji nema veze ni s bojom, ni sa zvukom: to je također reprezentacija, možda ne numerička (vektor) kao u slučaju umjetne inteligencije, ali i dalje u suštini matematička i funkcionalna samo po svojem odnosu s drugim reprezentacijama.

Ovdje je zgodno napomenuti da ni čestice možda nemaju suštinu. Svaki kvark ili elektron, ili koje god čestice / valovi / strune bile fundamentalne u smislu nedjeljivosti, u potpunosti su opisane svojim svojstvima i odgovarajućim brojevima (“what it does”) i vjerojatno nema smisla pitati od čega su napravljene (“what it is”). Iz te perspektive svemir je samo golemi skup matematičkih relacija, a gradivna tvar na najnižoj razini uopće ne postoji. Tako u knjizi Our Mathematical Universe Max Tegmark tvrdi da je stvarnost matematička struktura (i vremenska dimenzija je njezin dio) i da naš svemir postoji jednostavno zato što postoje sve matematičke strukture, same po sebi. To znači da iz istog trivijalnog razloga postoje svi mogući svemiri. Slično tvrdi i filozof David Lewis (doduše iz drugih razloga) u svojoj knjizi On the Plurality of Worlds: sve što je moguće, postoji. Bilo bi zbilja užasno da je to istina, ali to ne znači da nije.

Male tajne velikih brojeva

O nuli sam već pisao u postu I nula je broj. Ondje nisam spomenuo jedno zanimljivo svojstvo nule o kojemu ću sada govoriti, a bez kojeg matematički doživljaj ovog broja ne bi bio potpun.

Poanta nule nije u ništavilu, nego u potencijalu. Recimo, ako imam slobodan dan ili dio godišnjeg odmora s nula obaveza i planova, dakle, ako uopće ne znam kako ću ga provesti, osjećam se izvrsno jer potencijalno dopuštam svemu da se dogodi. John C. Parkin napisao je: “All things manifest from nothing. Leave space, lots of space, in your life.” Toga je bio svjestan i naš poznati matematičar Vladimir Devidé kada je ovako komentirao sljedeću japansku haiku pjesmu:

Koliba u proljeće:
ničega u njoj –
u njoj je sve!

(Sodō, 1642. – 1716.)

“Pročitavši to, bio sam kao ošinut. U proljeće, kad se sve budi, eto prazne kolibe koja upravo time što je prazna omogućava da sve uđe u nju, upravo ga zove. Nema ničega, nikakvih nepotrebnih stvari koje bi to priječile. Svo bujanje proljeća puni praznu kolibu svojim beskrajnim bogatstvom.”

Poanta minimalizma nije u redukciji broja stvari, nego u činjenici da oslobađanjem od suvišnih stvari ostavljamo mjesta za nove stvari. Recimo, jednom sam riješio jednadžbu tako što sam odlučio da je uopće neću riješiti. Neke sam knjige namjeravao pročitati, ali taj sam problem riješio odlukom da ih uopće neću pročitati. Idealno matematičko predavanje bilo bi ono u kojemu se ne bi govorilo o ničemu. Mnoge stvari u životu unaprijed su riješene odlukom da ih neće biti.

U sličnom smjeru ide i sljedeća ideja: možda je bolje kupiti ručni sat nego, recimo, gitaru ili bicikl. Naime, gitaru treba svirati, bicikl treba voziti, a sat radi sam od sebe: on uzima nula vremena i kao takav daje sve vrijeme svijeta! Nastavimo li ovako zaključivati, možda je još bolje kupiti zidnu sliku jer ona traži još manje od sata (ne treba je ni nositi na ruci). Potom, još je bolja neka stvar koju uopće ne možemo kupiti jer s njom ne moramo baš ništa, ni kupiti je ni išta s njom činiti. A najbolja je ona stvar za koju uopće ne znamo da postoji, jer onda ni ne znamo da s njom ne moramo ništa. Eto, to je poanta nule, to je poanta slobode i to je poanta godišnjeg odmora.

Može li računalo misliti?

Trenutačno je vruća tema novi AI model GPT-3 koji odlično razumije jezik i djeluje prilično inteligentno.

Naravno, riječ razumije ovdje nema značenje s kojim će se svi složiti. Pojednostavljeno rečeno, GPT-3 je duboka neuronska mreža, a to nije drugo nego ogromna matematička formula čiji se brojevi namještaju na osnovi milijardi primjera za učenje (tekstovi s Wikipedije i slično). Ugrubo, ona kao ulaz prima rečenicu, a izbacuje njezin nastavak ili odgovor na pitanje. Kao i svaki računalni program, tu bismo formulu teoretski mogli zapisati na (gotovo nezamislivo velikom) papiru i ručno je simulirati s možda nekoliko stoljeća računanja za samo jedan primjer, ali odgovori bi i dalje mogli biti takvi da ih ne možemo razlikovati od ljudskih. Ne mislim ovdje na “robotske” odgovore – AI je već sposoban djelovati osjećajno, veselo, tužno, kreativno, mudro, cinično, zaigrano i slično. No ima li tu ikakvog razumijevanja od strane umjetnog sustava, u onom smislu u kojemu za ljude kažemo da nešto razumiju? Je li AI svjestan?

O tom pitanju razmišljali su još mnogo prije samog AI-a. Filozof John Searle 1980. odgovara:

“Could a machine think?
The answer is, obviously, yes. We are precisely such machines.”

Ali potom nadodaje da digitalno računalo, koje nije biološki stroj (što je po njemu nužan uvjet za postojanje svijesti) to ne može, a njegov argument (Chinese Room) možete pročitati u njegovom slavnom članku Minds, brains, and programs. Isprovocirao je mnogo odgovora i osobno nisam siguran da mu argument stoji.

Moje je mišljenje da je takav AI svjestan jezika u onom smislu u kojemu smo mi svjesni sudokua koji rješavamo. Nama riječi znače više od (primjerice) brojeva jer smo čista biologija; jer nam mozak za svaku riječ (ručak, ljubav, voda, zagrljaj, poljubac, zrak, kraj, strah, smrt…) proizvodi asocijacije koje okidaju svjesne ili nesvjesne kemijsko-emocionalne reakcije. U određenom smislu sličniji smo jastozima nego računalu (vidi prvo poglavlje knjige 12 Rules for Life Jordana Petersona). Koliko god bili racionalni, naš je um oblikovan potrebama koje AI iz odgovarajućih tekstova možda može savršeno izučiti i oponašati, ali naprosto mu nedostaju prastari mehanizmi našeg živčanog sustava koji na njih reagiraju. To doduše ne znači da ih barem teoretski nije moguće programski simulirati. Tu mogućnost ostavlja i Daniel Dennett u još starijem članku Why You Can’t Make a Computer That Feels Pain.

Tako ni mi ne možemo razumjeti hipotetska (npr. digitalna) bića koja doživljavaju brojeve i pravila sudokua na sličan način na koji mi doživljavamo bol ili riječi koje je izazivaju – složenim mehanizmima živčanog sustava ili njihovim digitalnim ekvivalentima. Takva bića mogla bi se čuditi što mi tako uspješno rješavamo sudoku, ne znajući da mi sudoku (u usporedbi s njima) uopće ne razumijemo.