Tri slike o (pre)davanju

Priča je poznata: bol proizlazi iz navezanosti. Divno je biti sebi dovoljan, neovisan o tuđoj potvrdi. Slobodan od okova drame. Držati sve svoje konce i ne dopustiti nikome da te čini sretnim ili nesretnim. Crpiti sreću iz samoga sebe. Biti svoj i samostalan, spreman na dolazak i spreman na odlazak. Sačuvati svoju distancu i svoje granice. Ne predati se na milost i nemilost nikome. Bolje biti sam, nego… znaš već. Duboki mir proizlazi tek iz oslobađanja od svake emocionalne ovisnosti. Čuvati svoj mir, najvažniju stvar na svijetu.

Da, jebeš tu priču.

Umjesto toga, zamišljam zdjelu za toplu juhu.

Kakva je zdjela? Ona je široka, ona čeka. Što radi? Prima, prihvaća, mnogo stane. Prelijeva se, grli – obla je. Dopušta, čuva i grije.

Što dalje radi? Daje. Puna je, dijeli, prelijeva se. Pušta, napaja, grije. Obla je, dopušta i prihvaća, nudi sve što ima. Predaje se i razdaje, sva.

Zamišljam dalje. Na jednu srodnu sliku, kratku pjesmu mlade srpske pjesnikinje, ukazala mi je jedna druga (i draga) pjesnikinja:

hajde, pozovi me
želim da ti pokažem

koliko duše mogu
da smestim u jamice
iznad tvojih ključnih kostiju

Radmila Petrović, iz zbirke pjesama “Moja mama zna šta se dešava u gradovima

Jeste li ikad vidjeli jamice iznad ključnih kostiju? Nisu toliko uočljive. Ona ne spominje prsa, ramena ili što već, nego baš te male jamice. Samo toliko traži. A toliko želi dati! Kao da kaže: u te jamice – u to malo tvog prostora – mogu ti uliti tisuću tona svoje duše. (Zamisli koliko bih tek mogla ako mi daš više.)

Zamišljam, na kraju, srednjovječni bračni par koji si ovako šapuće:

“Pun si mana i nedostataka, i često mi ideš na živce, i ponekad se zapitam jesam li mogla bolje… Ali šta da ti ja sad radim. Takav si kakav si.” I onda slijedi osmijeh, koji je teško citirati, osim možda nekim smajlićem.

3 – H

Prva stabla o kojima je mali Satja ikad ozbiljno razmišljao bila su binarna stabla pretraživanja, strukture podataka korisne za neka informatička natjecanja. Ovakva, recimo:

Poslije je naučio još neke stablaste strukture podataka (a i pisao o njima) kao što su, recimo, turnirsko stablo, prefiksno stablo, DFS stablo, st*blo i tako dalje.

Lijepa su to bila stabla, pogodna za sadnju u glavi i odmaranje u njihovoj hladovini uz zvukove tipkovnice. Cvjetala su darežljivo i nesebično, ponekad brzinom od milijun listova u sekundi, ovisno o veličini testnih primjera i vremenskom ograničenju. A onda su hrabro padala, u trenu se brišući iz radne memorije kao da smrt nije ništa. Njihov je život bio kratak i ispunjen.

Matematičarima su zanimljivija fraktalna stabla s beskonačno mnogo grana. Recimo:

Problem nastaje kada na red dođu stabla odlučivanja. (Riječ je o poznatom alatu strojnog učenja.) Slika je suvišna, možete ih izguglati sami, ili nacrtati svoje, ako već niste. Život se grana, svi su dvadesetogodišnjaci jednaki, ali tridesetogodišnjaci više ni izdaleka nisu.

Onda kopaš po svojoj prošlosti i otkriješ rodoslovna stabla pa ih crtaš po ploči:

Da, na dnu piše JA. Ostala imena zabijelio sam kao snijeg, jer znate onu pjesmu: ruže su crvene, tajne su skrivene.

I onda, nekad poslije, otkriješ još neka stabla.

Ona zelena, koja vidiš s prozora, a kao da ih prije nisi vidio. Pogled puca, pjesma putuje.

Pogledajte samo ovaj gornji red platana koji otvara i zatvara nebo.

Poslije ti posijeku cijeli taj red stabala, pa budeš tužan:

Onda hodaš, šećeš, promatraš stabla koja si u životu vidio nula ili tisuću puta. Još im ne znaš imena, ali otkrivaš da na stranici https://gis.zrinjevac.hr/ možeš zumiranjem pronaći svako stablo u Zagrebu. Ideš dalje i promatraš ih. Još uvijek im ne znaš imena, ali primjećuješ da su jako različita. Jedno je visoko, drugo nisko, treće vitko, četvrto debelo, peto kržljavo, šesto raskošno, sedmo neugledno. Ali jasno ti je da među njima nema boljih i gorih. Ono su što jesu.

Hodaš dalje. Učiš da stablo može i drugačije izgledati, prije nego postane ono što zamišljaš kad kažeš stablo.

Ili, na kraju – ili na početku – ovako…

File:Mustard Seeds.JPG
izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mustard_Seeds.JPG
“Ono je doduše najmanje od svega sjemenja, ali kad uzraste…”

Tko me čita?

Može li bolje od slobodnog pisanja po praznoj stranici? Mladi pisac Luka Stjepan Delić pisanje naziva neprekidnim prostorom čiste mogućnosti. To nije daleko od matematičke vizure: pisac svakom svojom riječju bira jednu od N mogućnosti i tako je svaki tekst, kao niz tih odabira, jedna varijacija u kombinatornom smislu riječi. Pišući tekst, autor probija put u šumi varijanti, traži jedno rješenje jednadžbe s mnogo različitih rješenja, kreće se unutar prostora svih mogućih tekstova – Borgesove babilonske knjižnice, recimo.

Pisanje oslobađa, tako se zove jedna zbirka pjesama Ivice Prtenjače. Taj je naslov višeznačan, a jedan njegov smisao krije se u samim stihovima zbirke gdje se asocijacije nižu toliko slobodno da pjesme gube značenje i temu u tradicionalnom smislu riječi. To ne znači da nemaju smisla. Ali možemo biti još slobodniji – napisati prazan tekst, knjigu bez stranica (ili s praznim stranicama), koja time što je prazna ne bira nijednu mogućnost, ne ograničava se, već nagoviješta svaku od beskonačno mnogo neostvarenih mogućnosti. Ne pišući ništa, pišemo sve. Prazne parole (ali prazne doslovno, ne u smislu one Štulićeve pjesme) stoga bi bile idealne parole ekstremno liberalnih opcija koje dopuštaju, recimo to tako, sve.

Jednom sam razmišljao o performansu u kojem bih, poput onih koji na ulici dijele različite letke i reklame, prolaznicima dijelio bijele, potpuno prazne letke. Ali što ću onda reći kad me pitaju koji je ovo kurac, jel ja to njih zajebavam? Možda treba odgovoriti da je riječ o umjetničkom nastupu u kojemu, eto, dijelim prazne letke i promatram reakcije ljudi. (“Da, upravo ovu Vašu reakciju, gospođo, Vi ste dio performansa.”) Sve dok mi jedan od tih praznih letaka netko ne zabije u (prethodno prazan) nos. Ljudi ne vole prazninu, boje se onoga što iz nje može izroniti. Recimo, u onoj seriji Lud, zbunjen, normalan, debeljko u restoranu žali se na rupe u siru: “Šta je ovo? Naručio sam sir, a ne prazan prostor!” Možda prazan papir i nije najbolje rješenje. Pa i ovdje sam nešto napisao, nisam ostavio prazno.

Pavao Pavličić svojedobno je napisao priču za Večernjakov natječaj gdje svake subote objave jednu priču. (Ja sam im tada bio poslao svoju, ali je nisu objavili, nego su objavili Pavličićevu.) Priča mu je imala jako maštovit naslov: “Priča za Večernjakov natječaj”. U njoj Pavličić piše o tome kako želi napisati priču za Večernjak, ali ne zna o čemu bi pisao pa odlučuje pisati, eto, baš o tome kako traži temu i kako će tema biti to neuspješno traženje teme. Kakva rekurzija! Spominje i kako mu kompjutor broji znakove da ne prekorači limit za priču, a na samom kraju priče, kada tobože želi još nešto napisati, ispadne da više nema mjesta. Popizdio sam na tu priču, smatrao sam je jeftinom prevarom, objavljenom samo zato što je riječ o gospodinu Pavličiću, a ne o anonimusu čija je priča bila sedamnaest puta bolja. Bolje bi bilo da je poslao prazan papir. Ipak, koliko god bila odvratna, a možda baš zato što mi je bila odvratna, spomenute se priče još uvijek dobro sjećam. Ostala je. Ono što ostaje nije gola priča, nego naš doživljaj te priče. Htio ili ne htio, ja sam je doživio.

Doživljavate li vi mene? Moji su tekstovi meni uvijek smisleni. Ali drugi nemaju istu povijest, iste misli i iste reakcije. Ekstrovert ne razumije introverta, činovnik ne razumije hipija, praktičan ne razumije apstraktnog, thinker ne razumije feelera, i obrnuto u svim tim slučajevima. (Da, u prethodnoj rečenici krije se Myers-Briggsova tipologija ličnosti.) Dobar autor dotaknut će i različite od sebe, a loš samo sebi slične. Onaj najgori dotaknut će samo sebe. Koji sam ja?

U dane kada nema nove blogaritamske objave, ovaj blog bilježi prosječno 5-10 različitih posjetitelja dnevno. Kad nešto objavim, obično podijelim s prijateljima i na fejsu pa posjetitelja bude više. Ali sada me zanimaju prosječni dani, kada nema novih objava, zanima me tko su čitatelji koji blog posjećuju “nepozvani”. Tko ste? Što vas ovamo dovodi? Mene dovodi želja da se izrazim i da to netko doživi, jer pisanje je vid komunikacije, oblik prijateljstva. A vas? Javite mi se preko kontakt forme. Zanima me…

Pjesme o strganima

Ring the bells that still can ring
Forget your perfect offering
There is a crack, a crack in everything
That’s how the light gets in

Leonard Cohen, “Anthem”

Leonard je imao još mnogo stihova o strganosti.

Sjećate se, naravno, njegovog broken hallelujah… Ali možda ne znate za njegov strgani brijeg? From this broken hill, I will sing to you. From this broken hill, all your praises they shall ring.

Jedan od rijetkih još boljih pjesnika spominje strgano krilo, broken wing. U jednoj od svojih (meni najdražih njegovih) pjesama, Dylan opisuje fantastičnu djevojku, mirnu, snažnu i ljupku, kakvu bi svatko poželio. Svaki stih te pjesme malo je remek djelo. Ali na kraju odjednom kaže:

The wind howls like a hammer,
The night blows cold and rainy,
My love she’s like some raven
At my window with a broken wing.

Bob Dylan, “Love Minus Zero/No Limit”

Mnogo je različitih interpretacija ove strofe i slomljenog krila. Je li joj on slomio to krilo? Je li ono simbol njezine divlje slobode – koju on ipak ne želi? Ili je htio istaknuti da je, unatoč svemu, ona sjebana i ranjiva i kao takva kuca na njegov prozor? Vjerujem da je ovo posljednje.

Često se kaže da su lijepi ljudi oni koji se osjećaju dobro u svojoj koži. Toga sam se sjetio slušajući Alanis Morissette, koja se u svojoj pjesmi s ljubavlju obraća nekome strganome (nije baš jasno kome: prijatelju, prijateljici, bivšoj ljubavi?) kome nije lijepo u vlastitoj koži. I onda jasno kaže, iako žedna svega i svačega, ta je osoba predivna:

You were uncomfortable in your own skin
You were thirsty
But mostly you were beautiful

Alanis Morissette, “Joining You”

I unatoč svemu, ta je osoba njezin svjetionik: my tortured beacon. Želite li poslušati pjesmu, preporučujem live verziju s MTV Unplugged koncerta, mirnija je i nježnija od studijske.

Još jednu kritiku “dobrog osjećaja u svojoj koži” i sličnih ideala daje Martin Gore:

We’re damaged people
Praying for something
That doesn’t come from somewhere deep inside us

Depeche Mode, “Damaged People”

Da, za razliku od svih koji kažu “ljubav je u tebi” ili “sreća dolazi iznutra”, ovdje se javlja ponizan glas čovjeka koji priznaje da u dubini duše nije našao ni ljubav ni sreću te mu preostaje samo čekanje da ih odnekud dobije. Osvježavajuće je čuti takvu iskrenost. A pogledajte iduće stihove:

Depraved souls
Trusting in the one thing
The one thing that this life has not denied us

Ljepota je posljednjeg stiha u tome što se može shvatiti (prevesti) na dva načina. Prvi je: vjerujemo u jedinu stvar koju nam život nije uskratio. (Ljubav, možda.) Drugi je: vjerujemo samo u jedno: da nas život nije zanijekao.

Koliko sam dobro trčao? (drugi dio)

Sanjao sam sfingu koja daje proročanstva i mogao sam postaviti jedno pitanje. Pitao sam: kada će na Blogaritmu ponovno osvanuti nešto normalno, matematičko? Sfinga je odgovorila: hokus pokus, bogovi su odlučili, to će biti danas!

Ovo je nastavak objave Koliko sam dobro trčao? (prvi dio) u kojoj sam pitao:

Ako sam pretrčao S metara u T sekundi, koliko sam uspješno trčao?

I evo, tijekom ovog sunčanog vikenda riješio sam taj problem.

Nakon što sam pri kraju te objave zaključio da je uspjeh dobro računati kao kombinaciju doprinosa prijeđenog puta S i prosječne brzine V (= S / T), te u međuvremenu kratkim istraživanjem po webu shvatio da je riječ o približno eksponencijalnom odnosu, odlučio sam da formula treba biti umnožak oblika:

S^\beta V^\gamma

s parametrima \beta i \gamma takvima da se iznos kreće od 0 do 100 – pri čemu bi svjetski rekord dao rezultat 100. Da bismo izračunali dotične parametre, valja pogledati te svjetske rekorde – osim sprinteva (S < 1000) u kojima su principi malo drugačiji. Ako je, recimo, (s, v) jedan konkretan rekord, onda treba vrijediti:

s^\beta v^\gamma = 100 \quad\Rightarrow\quad \beta \log s + \gamma \log v = 2.

Ako u matricu X po redcima stavimo parove (\log s, \log v) za sve promatrane svjetske rekorde, iz gornjih jednadžbi dobivamo preodređeni sustav jednadžbi:

X [\beta \, \,\, \gamma]^T = [2, 2, ..., 2]^T,

čije najpreciznije rješenje u smislu najmanjih kvadrata dobivamo na sljedeći način:

[\beta \,\,\, \gamma]^T = (X^T X)^{-1} X^T [2, 2, ..., 2]^T.

Konačno, formula za uspjeh trčanja (na osnovi liste svjetskih rekorda danih u donjem kodu), ako je S izražen u metrima, a V u metrima po sekundi, ispada približno:

uspjeh = S^{0.14} \cdot V^{1.81}

Primjerice, ako sam pretrčao 5 kilometara (S = 5000) u 25 minuta (V = 5000 / (25 \cdot 60) = 3.33), uspjeh ispada 5000^{0.14} \cdot 3.33^{1.81} = 29.1 od mogućih 100. Prilično loše, hahaha!

Evo i koda u Pythonu. Pokrenete li ga, vidjet ćete da formula nije potpuno precizna: uspjesi svjetskih rekordera kreću se između 97 i 103.

#!/usr/bin/python3
from math import log
import numpy as np

csv = "1000,no,131.96,male,track,Noah Ngeny,1999-09-05\n\
1500,yes,206.00,male,track,Hicham El Guerrouj,1998-07-14\n\
1609.344,no,223.13,male,track,Hicham El Guerrouj,1999-07-07\n\
2000,no,284.79,male,track,Hicham El Guerrouj,1999-09-07\n\
3000,no,440.67,male,track,Daniel Komen,1996-09-01\n\
5000,yes,757.35,male,track,Kenenisa Bekele,2004-05-31\n\
10000,yes,1577.53,male,track,Kenenisa Bekele,2005-08-26\n\
10000,no,1604,male,road,Leonard Patrick Komon,2010-09-26\n\
15000,no,2473,male,road,Leonard Patrick Komon,2010-11-21\n\
20000,no,3386,male,track,Haile Gebrselassie,2007-06-27\n\
20000,no,3321,male,road,Zersenay Tadese,2010-03-21\n\
21097.5,no,3503,male,road,Zersenay Tadese,2010-03-21\n\
21285,no,3600,male,road,Haile Gebrselassie,2007-06-27\n\
25000,no,4345.4,male,track,Moses Mosop,2011-06-03\n\
25000,no,4310,male,road,Samuel Kosgei,2010-05-09\n\
30000,no,5207.4,male,track,Moses Mosop,2011-06-03\n\
30000,no,5257,male,road,Peter Cheruiyot Kirui,2011-09-25\n\
42195,yes,7418,male,road,Patrick Makau,2011-09-25"

x = []
y = []
for row in csv.split('\n'):
    data = row.split(',')
    s, t = float(data[0]), float(data[2])
    v = s / t
    x.append([np.log10(s), np.log10(v)])
    y.append(2)
x = np.array(x)
y = np.array(y)

beta, gamma = np.linalg.inv(x.T @ x) @ x.T @ y
print(beta, gamma)

for row in csv.split('\n'):
    data = row.split(',')
    s, t = float(data[0]), float(data[2])
    v = s / t
    print(s**beta * v**gamma)

Zašto je otišla Aleksandra?

Tijekom ljetne prakse u Zürichu 2013. godine otišao sam na koncert velikog glazbenika i pjesnika Leonarda Cohena. Ondje je njegov prateći vokal, Sharon Robinson, izvela pjesmu Alexandra Leaving koje sam se dotaknuo i u prethodnoj objavi.

Po svemu divna pjesma, pa nisam ni slutio da će prošle godine, kada sam jedva dočekao novi album kantautorice Laure Marling, njezina pjesma Alexandra iz ženske perspektive, iskreno i brutalno, odgovoriti upravo na tu Cohenovu pjesmu.

Cohen je nostalgičan i u svojoj pjesmi obraća se čovjeku (vjerojatno samome sebi) kojega napušta dotična Aleksandra, govoreći mu da prihvati taj ishod i pomiri se s njim. Ali Laura iz nekog razloga nije smirena: zauzima se za Aleksandru te je ljuta i ogorčena na Cohenove riječi.

U čemu je problem, Laura? Za razliku od mene, ona je u Cohenovoj raskošnoj pjesmi vidjela takvu patologiju da se zapitala kako je Aleksandra uopće preživjela takav odnos:

What became of Alexandra
Did she make it through?

Idući stihovi optužuju Cohena da zapravo nije ništa rekao o samoj Aleksandri. Kakva je ona, zašto odlazi, kako se osjeća? Je li njemu to uopće važno?

What kind of woman gets to love you?
Wrote us all a little note
Nothing left to lose
What kind of woman gets to love you?

I zaista. U pokušaju objašnjenja rastanka, Cohen (obraćajući se samome sebi) govori isključivo o sebi, o planovima koje je upropastio i izgubljenom smislu:

As someone long prepared for the occasion
In full command of every plan you wrecked
(…) And you who were bewildered by a meaning
Whose code was broken, crucifix uncrossed
Say goodbye to Alexandra leaving
Then say goodbye to Alexandra lost

Laura, međutim, ima sasvim drugačije objašnjenje. Jednostavno i daleko manje poetično:

She’d tell you what you’re doing wrong
If she thinks she’ll be understood

Aleksandra, zar zaista misliš da Cohen to ne bi mogao razumjeti? Ili si očekivala da ti treba pročitati misli? Laura je ovdje pristrana. Idealizira Aleksandru objašnjavajući da ona, za razliku od Cohena, nije ništa projicirala – svjesno je zagazila u njegovu kanalizaciju tražeći dijamant, koji joj je na kraju postao uteg:

Alexandra had no fear
She lived out in the woods
Pulls her socks up to her knees
Finds diamonds in the drain
One more diamond to add to her chain

Što kaže Cohen? Prije nego što je Sharon Robinson izvela njegovu pjesmu u Zürichu, on nam je (publici) izdvojio i izrecitirao sljedeću strofu – bit će da mu je draga:

Even though she sleeps upon your satin
Even though she wakes you with a kiss
Do not say the moment was imagined
Do not stoop to strategies like this

Divna strofa koja govori o težnji da, radi olakšanja boli, pokušamo na neki način zanijekati ono lijepo što je bilo ili ono što još uvijek osjećamo (“ma to sam si ja umislio”). To nije dobra strategija. Umjesto toga, kaže on dalje, treba sve proživjeti:

Go firmly to the window. Drink it in.
Exquisite music. Alexandra laughing.
Your first commitments tangible again

Cijela je njegova pjesma puna ovakve romantike. Kako Laura odgovara? Glazbeni vrhunac njezine pjesme dolazi na kraju (bridge) kada u pjesmi nimalo romantično Cohenu progovara sama Aleksandra:

You had to say your shit to bed
You could not bear the unsaid
I had to try a fuck to give
Why should I die so you can live?

Opet imam problem s ovim “unsaid”, ali… Je li Cohen svojom romantikom ubio Aleksandru? Kakva je uopće žena koja je imala čast njega voljeti (“What kind of woman gets to love you“) – ima li ona svoj unutarnji život, ili je ona samo fasada, projekcija čega god on želi da ona bude? To pitanje Laura ponavlja na sljedeći način:

It won’t change how I’m feeling
But you can try to help me understand
If she loved you like a woman
Did you feel like a man?

Drugim riječima, Cohene, jesi li Aleksandru samo trebao kako bi se ti nekako osjećao? Recimo, kao muškarac?

Što bi o tome rekli njegovi sljedeći stihovi (prva dva)?

And you who had the honor of her evening
And by that honor had your own restored
Say goodbye to Alexandra leaving
Alexandra leaving with her lord

I je li to, u konačnici, toliki problem? Laura na kraju ironično ponavlja:

What did Alexandra know?
What did Alexandra know?
What did Alexandra know?

Exactly.

Na kraju, moram spomenuti jednu možda i ključnu činjenicu.

Poznato je da je Cohenova pjesma nastala na osnovi pjesme grčkog pjesnika Konstantina Kavafija, Bog napušta Antonija. Pjesma govori o povijesnoj priči prema kojoj je Marko Antonije u Aleksandriji bio opsjednut od Oktavijana noć prije nego što je grad pao u neprijateljske ruke. Većinu riječi i stihova iz te pjesme Cohen je u sačuvao ili preradio u svojoj pjesmi, zamijenivši glavni motiv – grad Aleksandriju – ženom koja se zove Aleksandra. Genijalan umjetnički potez, ali… Potvrđuje li ova činjenica Laurino tumačenje? Žena ili grad, ima li razlike? Kako Cohen vidi Aleksandru koja ga napušta – i vidi li je uopće?

Crtice o determinizmu i slobodnoj volji

“Although we live in a deterministic universe, human beings have free will.” – Sheldon Cooper

Kad bismo vidjeli svoju budućnost, bismo li joj mogli reći ne? Ted Chiang u svojoj SF priči Story of Your Life postavlja lika upravo u takvu poziciju, a budućnost koju vidi je tragična. I taj lik, u potpunom skladu s determinizmom, odgovara: DA. Prihvaća i čini upravo ono djelo koje ga vodi u takvu, tragičnu budućnost. Ne zato što mora, nego zato što želi. Nemamo slobodnu volju, ali to ne znači da ne činimo ono što želimo. Volja koju nepromjenjivo diktiraju fizikalni zakoni od početka svemira nije drugačija od naše volje, one su jedno te isto.

Determinizam, u kojemu je fizika zamijenjena astrologijom, kao i čovjek koji se s njime bori, nalaze se i u mojoj priči Pod upravom zvijezda. Lik iz priče istodobno je i borac i fatalist; on kao da istodobno i vjeruje i ne vjeruje u slobodu.

Vjeruju li umjetnici? Evo što kaže Leonard Cohen u svojoj pjesmi Alexandra Leaving, u kojoj se obraća čovjeku kojega napušta partnerica:

As someone long prepared for the occasion
In full command of every plan you wrecked
Do not choose a coward’s explanation
That hides behind the cause and the effect

Drugim riječima, nemoj kriviti determinizam (“cause and the effect”), nego preuzmi odgovornost. I to me pogađa, jer moja vjera u determinizam godinama mi je značila prvenstveno utjehu za vlastite pogreške i propuste – nisi mogao drugačije.

Možda i nisam, ali postoje bolje strategije od pozivanja na determinizam. Jednu od njih doživio sam ovog ljeta na izvjesnoj “radionici smijeha” gospodina Ivice. U sklopu te radionice bila je neka igra, brojalica, koju smo igrali nas desetak u krugu. Igra je bila jako jednostavna i jedina poanta bila je u sljedećem: tko pogriješi, njemu plješćemo i bodrimo ga, vičemo hura, bravo! Drugi to vjerojatno nisu doživjeli kao ja, ali meni je to bio iznimno dubok trenutak. Oprostite, gospodine Ivica, zar onaj tko pogriješi ne ispada iz igre? Ne, ostaje u igri, samo mu plješćemo i vičemo bravo. Ali gospodine, zar ne gubi bod ili tako nešto? Ne, ništa ne gubi, samo mu plješćemo i vičemo bravo. Nevjerojatno… Nisam na to navikao… Predivno! Daj da pogriješim! Mi koji smo tvrdi prema sebi, koji smo se navikli kuditi, trebali bismo češće igrati tu igru. Nije onaj prorok slučajno najviše govorio upravo o praštanju.

Dvije zgode s CEOI-a 2016.

Tko zna kako i zašto, sjetio sam se jedne nevažne zgode od prije pet godina u Rumunjskoj gdje sam bio stručni voditelj hrvatskih natjecatelja na CEOI-u. Bila je završna večera, organizirana na nekom lijepom mjestu, s mnogo jela, pića i žive glazbe – mislim da je bilo i plesač(ic)a. Ljudi su se već bili dobro najeli i sada su hodali oko stolova, pričajući i družeći se. Tada je do našeg (“hrvatskog”) stola došla jedna gospođa, profesorica od šezdesetak godina, voditeljica možda bugarskih ili mađarskih natjecatelja, tko će ga više znati. Pitala me za jednoga gospodina, svoga prijatelja, koji je prije bio hrvatski voditelj na olimpijadama. Rekao sam joj da ću mu rado prenijeti njezine pozdrave. Kad je to čula, razveselila se i počela pričati. Da ga puno pozdravlja i da ima divna sjećanja o suradnji i druženju s njim. Da je šteta što više ne dolazi na olimpijade. Da trenutačno radi na na jednom i na drugom sveučilištu, da joj je to naporno i da autom prelazi mnogo kilometara tjedno (ne sjećam se koliko točno). Da njezini studenti negdje postižu odlične rezultate. Da su ona i njezin muž dobro i da rade nešto u vrtu. Da šalje velike pozdrave gospodinu i njegovoj supruzi. I svašta još.

Opustila se žena, raspričala do u sitne detalje, zanijela se, kao da priča njemu. Ne mari ona što ja sigurno neću ni četvrtinu toga zapamtiti, pogotovo u onom dobro najedenom stanju, nakon dva-tri pića, kada su tijelo i mozak na godišnjem odmoru. A ona maše rukama, uživa u svojoj priči, pretpostavlja da slušam, gotovo da mene i ne gleda. Ja kimam glavom. Sigurno, rekao sam, već sutra ću mu poslati mail, sve ću mu prenijeti, sigurno će mu biti jako drago, i on vas pozdravlja. Ona zahvaljuje i priča dalje. Kao da nije svjesna da ne priča njemu, nego meni. Kojega svi ti detalji – uz najbolju volju – ne zanimaju baš previše. Mislim si, zar ona ne kuži da ću moći prenijeti tek mali dio njezinih riječi, a da najvažniji dio – njezin entuzijazam i zanos – dotični gospodin očito neće vidjeti? (Naravno, riječi tu igraju sasvim sporednu ulogu, inače bi mu sama poslala mail.) Vjerojatno kuži, ali ništa to njoj ne smeta. Jebe se njoj, ona se ispucala, ispričala što je imala na duši i veselo se vratila za svoj stol.

Volio bih biti ta gospođa. Biti u svom filmu. Ne tražiti previše. Biti sretan s X iako sam htio Y. Pričati svoju priču tko god me slušao ili ne slušao. Pisati ne moleći da čitaju. Pjevati. Dati stotinu rečenica ne očekujući nijednu zauzvrat. Proizvoditi entuzijazam bez obzira na prijam i odgovor. Bez obzira na drugu osobu.

Još jedna nevažna zgoda dogodila se na istom natjecanju nekoliko dana prije, dok smo obilazili gradić Piatra Neamț gdje se sve to događalo. Prelazeći cestu, pored mene se stvorila mala Ciganka, djevojčica od možda desetak godina, i počela mi nešto govoriti na rumunjskom. Pojma nemam što je rekla. Nije djelovalo kao da prosi ili nešto traži, više je djelovalo kao neki veseli komentar ili pitanje. Nije znala da ne znam rumunjski. Računao sam da ona ne zna engleski pa sam pomislio da je najlakše uopće ne reagirati; jednostavno sam ignorirao što govori, pravio se kao da je nema. Sumnjam da ju je to previše uznemirilo, ali ne ponosim se svojom reakcijom.

Dan danas me zanima što mi je rekla. A nikada neću saznati. Naravno, vjerojatno nije rekla ništa toliko osobito, i možda bih je bio brzo zaboravio da sam je uspio razumjeti. No ovako, iako ona misli da sam je totalno izignorirao, zapravo sam je zapamtio toliko dobro da sada o njoj pišem.

Ta zgoda nije toliko različita od ove prethodne, one stoje u nekom čudnom odnosu. Kad su se već dogodile u istom gradiću u približno isto vrijeme, neka stoje i ovdje zajedno, na istom blogu, kao spomen na dvije osobe koje su htjele nešto reći.

Polumatematičke crtice s godišnjeg odmora

Posudio sam iz knjižnice debelu knjigu Number theory Andreja Dujelle, počeo je čitati i rješavati zadatke. Ide mi dobro, prisjećam se kako je to bilo vježbati za matematičke olimpijade. Ali ako velik dio dana provedem na taj način, osjećam se kao da sam gubio vrijeme. Jer sada, kada nemam neke vanjske motivacije za proučavanje teorije brojeva (niti se natječem niti se profesionalno bavim čistom matematikom), osjećaj je u istom rangu kao da rješavam sudoku: lijepo, ali beskorisno, ne doprinosi ničemu. Ne kažem da treba biti tako, samo da se ja tako osjećam, a osjećajima uglavnom ne možemo upravljati. Bolje se osjećam kada čitam nešto životnije.

Tako sam čitao Teda Chianga (inače odličnog SF pisca) i njegovu priču Division by zero. U toj priči on pokušava oslikati matematičarku kojoj je matematika daleko od sudokua i slične zabave: ona je praktički religiozno vezana za matematičke rezultate, baš kao i neki veliki vjernik za dogme u koje vjeruje. Poznajete li nekog takvog matematičara? Ja ga baš i ne poznajem. Kao što keramičaru neće svijet propasti ako mu se razbije paket pločica, tako je i većini matematičara vjerojatno svejedno je li Goldbachova ili Riemannova hipoteza istinita ili nije; zapravo im je vjerojatno stalo samo do toga da oni sami uspiju dati neki doprinos. Je li rezultat pet ili šest, koga briga, jer ništa se u svemiru ni u našim životima neće promijeniti. Ja sam kao mali, u osnovnoj školi, bio vatreni matematičar i možda mi je stvarno bilo stalo do tih rezultata. Sad više nije toliko, i ne znam nikoga tko je toliko “religiozan” u matematici da mu je doista stalo. Sve je to sudoku.

Uglavnom, u spomenutoj priči Division by zero, Ted Chiang uspijeva uvjerljivo opisati takvu duboku matematičarku Renee. (Tekst koji slijedi sadrži spoilere.) Što je najgore što se takvoj osobi može dogoditi? Kao što bi vatrenom vjerniku ili teologu najgora spoznaja bila da nema Boga, tako Renee – na svoje veliko zaprepaštenje – uspijeva dokazati da je matematika u sebi kontradiktorna, tj. da je moguće bez greške dokazati da je 1 = 2 (ili bilo koju drugu jednakost). Sve matematičke tvrdnje postaju jednako istinite i jednako neistinite. Njezinim je kolegama manje-više svejedno, ali Renee pada u tešku depresiju. Ali genijalnost leži tek u drugoj, paralelnoj radnji priče: kao što se Renee bori sa svojom spoznajom o kontradiktornosti matematike, tako se njezin suprug Carl bori sam sa sobom, sa spoznajom da više ne može razumjeti Renee, da se njegova ljubav prema njoj gasi, da je mora napustiti. Dok Renee gubi vjeru u matematiku koja je njezin život, Carl gubi vjeru u život i samoga sebe. U zadnjem odjeljku, koji je prikladno označen kao “1 = 2”, Carl napokon shvaća što osjeća Renee – jer on osjeća to isto, samo u drugoj domeni. Ali ta ih “jednakost” razdvaja, kao što jednakost 1 = 2 uništava matematiku.

*

Postoji teorem (tzv. Intermediate value theorem) koji kaže da ako imamo neprekidnu funkciju za koju je f(a) negativan i f(b) pozitivan, onda mora postojati neki c između a i b takav da je f(c) = 0. Prilično intuitivno, zar ne? Što ćemo onda sa sljedećim pitanjem: ako sa a = 15 godina nisi odrastao čovjek, a sa b = 35 godina jesi odrastao čovjek, u kojem se točno trenutku događa prijelaz? Ne mora on biti isti za svakoga, jer funkcija ne raste istom brzinom za svakoga, ali za svakoga tko će ikad odrasti očito mora postojati neki trenutak kada on počinje biti odrastao. (Žalite se teoremu, ne meni.)

Taj se prijelaz dogodi, a nitko ga ne primijeti. U pjesmi Time, Floydi govore upravo o tome, te između ostalog kažu: “No one told you when to run, you missed the starting gun.” Ali ja ipak mislim da sam uočio taj trenutak. Noćas sam se probudio usred noći te, idući prema WC-u, ugledao plosnati predmet za koji sam na trenutak (u tom uspavanom stanju) pomislio da je matematička knjiga; imao je i uzorak šahovnice na “naslovnici”. Kad sam bolje pogledao, shvatio sam da je to paket vlažnih krpa za pranje poda koje sam jučer upotrebljavao (kupljen u Kauflandu ili Mülleru), a onaj šahovski uzorak na njegovu omotu oslikava pločice. Život se mijenja; matematičku knjigu zamjenjuje nešto mnogo prizemnije, čak i u najdoslovnijem smislu riječi “prizemno”. Zgodna slika odrastanja.

Dilema istraživanja i iskorištavanja

“You can usually accomplish more by giving something your full effort for a few years rather than giving it a lukewarm effort for fifty years.

Pick a priority for this season of your life and do it to the best of your ability.”

Gornji citat pročitao sam jučer u tjednom newsletteru Jamesa Cleara, autora koji se bavi produktivnošću i navikama. U tom citatu lako je previdjeti jednu manje naglašenu, ali presudnu stvar. Druga rečenica, naime, sastoji se od dviju točaka: 1) pick a priority; 2) do it to the best of your ability. Početna rečenica o trudu kroz godine naglašava točku 2), pa je lako zaboraviti točku 1), fazu odabira. Napor možemo uložiti u bilo što, ali često nismo sigurni je li to najbolje za nas. Što odabrati? Točnije, koliko vremena uložiti u biranje ili istraživanje (1) u odnosu na iskorištavanje (2)?

U području umjetne inteligencije ovo se zove dilema istraživanja i iskorištavanja (engl. Exploration-Exploitation Dilemma), a svodi se na sljedeće (opetovano) pitanje: hoću li “igrati na sigurno” potezom koji je najbolji s obzirom na dosadašnje znanje, ili ću odabrati drugi potez koji bi mogao biti bolji (ali i mnogo lošiji)? Primjene leže u robotici, financijama, igranju igara, algoritmima za preporučivanje oglasa/pjesama/filmova korisnicima, te općenito u podržanom učenju (engl. reinforcement learning). Dobar članak o ovom problemu i raznim matematičkim strategijama njegova rješavanja možete naći ovdje.

Ako sam našao solidan posao, hoću li tražiti još bolji? Ako biram ideju za projekt čiji je ishod neizvjestan, u kojem ću trenutku prestati tražiti, i početi raditi na najboljoj ideji smišljenoj do tog trenutka? Hoću li večeras otići u svoj omiljeni kafić ili ću isprobati neki novi? Uživati u poznatoj glazbi ili istraživati nepoznatu? Treba li angažirati uglednog ili još nepoznatog (ali možda boljeg) glumca za film? U kojem trenutku treba prestati upoznavati potencijalne ljubavne partnere i odlučiti se za jednog? (Ovo zadnje je matematički riješeno. Kao.)

Nešto malo u ovom smjeru već sam pisao. Prije dvije godine, u svojoj objavi o zadatku s potapanjem brodova, napisao sam:

On [Goran] je na početku napravio 20 ili 30 potpuno slučajnih hitaca po cijeloj ploči, neovisno o tome je li neki od njih bio uspješan. Tek potom gledao je koji su hici bili uspješni i prema tome gađao gdje su čitavi brodovi. (…) Meni se takva strategija jako svidjela, više u psihološkom nego u matematičkom smislu. Ima taj duh robusnosti, ne lijepi se za prvi pogodak, nego u prvoj fazi decidirano i pomalo nemarno isprobava trideset slučajnih stvari prije nego što se u sljedećoj fazi počne fokusirati. Životna lekcija, eto što je to.

Ako sam se od malih nogu bavio samo matematikom, kako znam da, recimo, ne bih u konačnici više uživao ili bio uspješniji baveći se glazbom? Ili pisanjem? Ili plivanjem? Ili programiranjem igara? Ili kuhanjem?

Ali i prevelik broj interesa ili talenata može biti problem jer tada često izostane ona ključna druga faza s početka teksta – faza u kojoj se nekoliko godina fokusirano trudiš samo u jednoj stvari. Izostane zato što bi se htio svime baviti, ili zato što dugo čekaš da ti postane jasno što ti je najbolje. Ili oboje pomalo.

S mnogo grubih pojednostavljenja, od kojih je najveće pretpostavka da najprije istražujemo i na kraju iskorištavamo, o ovom problemu u praksi možemo razmišljati na sljedeći način. Neka je uspjeh(x) očekivana nagrada ako je x trajanje faze istraživanja. Jasno je da x ne smije biti ni premalen ni prevelik. Ako je x = 0, nema istraživanja i zapravo ne znamo čime se baviti. Ako je x malen, isprobali smo malo stvari pa je mala vjerojatnost da smo pronašli ono što će nam dati najbolji uspjeh. Dakle, kako x (vrijeme provedeno u istraživanju) raste, tako raste i očekivani uspjeh(x) jer s više informacija bolje izabiremo. Međutim, budući da je vrijeme ograničeno, prevelik x nije dobar: iako ćemo nakon mnogo istraživanja dobro znati što nam je činiti, neće nam preostati dovoljno vremena da se tome posvetimo. To znači da funkcija uspjeh raste pa pada (graf ima oblik obrnutog slova U), tj. da postoji njezin “vrh”, neko optimalno vrijeme x = T kad je očekivani uspjeh(x) najveći. Daljnjim povećavanjem iksa (x > T) funkcija uspjeh(x) počinje padati, tj. sve se manje i manje isplati istraživati i čekati jer gubimo vrijeme. Kako prepoznati to optimalno vrijeme, “the sweet spot”?