Everybody’s gangsta until you invert

Prijatelj Bruno Gašperov i ja imali smo raspravu oko jednog YouTube videa, točnije jedne slike koja je u njemu prikazana, a navodno oslikava inverz:

Bruno je primijetio da ovaj meme zapravo ne predstavlja inverz funkcije. Štoviše, on nema nikakve veze s inverzom. Što je na prvoj slici x, a što f? Je li riba x a mačka f()? Onda je f preslikavanje x -> pojedeni x, pa bi inverz trebalo biti nešto što pojedeni x vraća u x. Dakle, na drugoj slici bi trebalo biti nešto što pojedenu ribu pretvara u originalnu. Zapravo je povraćanje inverz, zaključio je Bruno.

Odgovorio sam da on želi prikazati f^{-1}(y), ali da slika prikazuje f^{-1}(x). Bruno je zaključio da to baš i nema smisla. Ako je f nešto što neki objekt pretvara u pojedeni objekt, onda je f^{-1} nešto što pojedeni objekt pretvara u nepojedeni. Domena od f su nepojedeni objekti, kodomena pojedeni. f^{-1} nije definiran na elementu domene, tj. na x. Dakle, f^{-1}(riba) ne postoji.

A čak i ako shvatimo da f^{-1}(riba) postoji, objašnjavao je Bruno, f^{-1} i dalje undo-a čin jedenja. Onda bi f^{-1}(riba) (za nepojedenu ribu) bio neki z koji, kad ga pojedeš, dobiješ nepojedenu ribu. Možda neka riba u ovojnici?

Složio sam se i zaključio da slika zapravo ne opisuje inverz nego reverse, okretanje poretka (mačka jede ribu -> riba jede mačku). Ali onda sam krenuo razmišljati može li se slika ipak nekako shvatiti tako da ima smisla kao inverz, tj. postoji li neko drugo, pametnije tumačenje što je x, a što je f. Pasivno razmišljajući dvadesetak minuta uz zujanje i kavu, nakon nekoliko krivih ideja, našao sam odgovarajuće tumačenje.

Ako je f(x) = onaj tko jede x, onda je na prvoj slici f(riba) = macka. To znači da je f^{-1}(macka) = riba. I onda druga slika prikazuje f^{-1} kao što prva prikazuje f!

Neovisno o dojmu da je takav f malo neprirodan, Bruno je primijetio da je onda čudno da je druga slika, koje prikazuje f^{-1}(x), tj onog koga jede x, vizualizirana na isti način. Bilo bi smislenije da je druga slika identična prvoj. Za drugu sliku treba biti f^{-1}(macka)=riba, što znači da mačka jede ribu, no na slici riba jede mačku. Na toj slici, dakle, “biti pojeden” su vizualizirali kao “jede” što nema baš smisla.

Odgovorio sam da nije tako nelogično ako shvatimo na sljedeći način. Za početak zaboravimo ikakvo jedenje i samo definirajmo f(riba)=macka, dakle f^{-1}(macka)=riba. Dalje uzmimo da slika vizualizira proizvoljnu funkciju na način da stavi x u usta onoga u koga se on preslikava. I sad jednostavno prva slika vizualizira f, a druga f^{-1}. Kao graf! Je li graf funkcije sinus identičan grafu njenog inverza (arcsin)? Ovdje je analogna situacija.

Bruno odgovara da onda relacija jedenja oslikana na slici zapravo samo indicira što je x a što je y, a ne govori ništa o samoj funkciji f. Nisam se baš složio: indiciranje što je x a što y jednoznačno opisuje funkciju. Funkcija nije drugo nego skup parova x, f(x). Slika prikazuje taj skup, točnije, jedan njegov dio. Govori nam o jednom paru x \to y (riba i mačka). Možda ih ima još, možda nema.

Bruno je ponovio prigovor od ranije. Ako je f(riba) = macka, onda je f^{-1}(macka)=riba. f(x) je onaj tko jede x, f^{-1}(x) je onaj koga jede x. Problem je što f(x) i f^{-1}(x) nisu vizualizirane na isti način. Trebale bi biti ista slika!

Odlučio sam se bolje izraziti. Zapravo, nije točno da je f(x) onaj tko jede x. Nego samo na slici vrijedi da je za funkciju na slici f(x) onaj koji jede x. Jedenje je samo vizualizacija neke funkcije koja sama po sebi neme veze s jedenjem. Isto kao što sinus nije “valovit” sam po sebi nego tek kad mu nacrtaš graf u Kartezijevoj ravnini. U tom smislu, f i f^{-1} jesu vizualizirane na isti način i sve je smisleno. Primjerice, “9 jede 3” bila bi analogna slika koja vizualizira kvadriranje, a “3 jede 9” korjenovanje i ništa nije čudno.

Bruno je shvatio. Dakle, imamo neku funkciju koja preslikava x (ribu) u y (mačku), i ta funkcija je (sasvim slučajno) prikazana tako da y jede x (mogli smo prikazati i kao da y pije x ili nešto treće). Jedenje samo indicira što je element domene x (jedeno), a što odgovarajući element kodomene y (jedač). I onda na drugoj slici želimo nacrtati inverz i stavimo obrnuto, da x (riba) jede y (mačku) jer su sad domena i kodomena obrnute. (Kao u slučaju grafova sinusa i arcsinusa.) I u tom smislu relacija jedenja ništa ne govori o samoj funkciji f jer smo funkciju mogli vizualizirati i nekom drugom relacijom, već je proizvoljno odabrana ta relacija da poveže element domene i kodomene. Slika je samo oznaka.

Bruno je onda predložio bolji meme za inverz:

… jer sad ne moramo toliko apstraktno ići, u skladu je sa slikama. f(x) je dobiti na lutriji, f^{-1}(x) potrošiti novac u kockarnici.

Komentirao sam da bih ovaj cijeli razgovor (u ispoliranom obliku) volio staviti na Blogaritam. (Ovaj meme na kraju, doduše, može se doimati politički nekorektnim. Kao, muškarac dobiva novac, a žena ga spiska. No dobro je što muškarac na slici nije zaradio novac, nego dobio na lutriji, pa ne ispada da muškarac zarađuje za ženu.)

Za kraj, Bruno je primijetio da autor originalnog memea sigurno nije imao našu interpretaciju na umu. On je zabrijao, ali ipak je dobro ispalo. Kao kad izgovorite nešto glupo, ali to iz nekog razloga na koji niste računali ispadne duhovito pa slučajno impresionirate ljude. Događalo mi se nekoliko puta.

Jedna misao o “Everybody’s gangsta until you invert

  1. Kao sto je Jelena Loncar dobro napomenula: “Objasnjenje govori o f(x)=y i f^{-1}(y)=x, a ne o f^{-1}(x). Stoga ne vrijedi ono sto je na kraju napisano, da su autori slike slucajno pogodili. f(x)=y, f^{-1}(y)=x. Pretpostavimo da je x u domeni od f^{-1}. Tada je f^{-1}(x)=z. Slika iziskuje da je z=y, tj. da f^{-1}(x)=f(x).” Slazem se s ovim, u najboljem slučaju je notacija misleading. Isto vrijedi i za moj meme – umjesto f-1(x) zbog smislenije notacije bolje je staviti f-1(y). I u tom meme-u, malo preciznije: f(x)=y preslikava x (bogat) u y (siromasan) a f-1(y)=x obrnuto, nije naglasak na lutriji/casinu.

    Sviđa mi se

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s