Digresija: i nula je broj

Anegdote su majka mudrosti. Kada sam se davnih dana natjecao na državnom natjecanju iz logike, bio sam okružen gomilom filozofa, jer natjecanja iz logike i filozofije tada (a možda i danas) održavala su se zajedno. Ništa čudno, rekli bi ljudi, srodne discipline. I jedni i drugi razmišljaju, samo što logičari razmišljaju manje i bolje, a filozofi više i gore. (Ovo “gore” može značiti suprotno od dolje, tj. iznad, gore visokoDa ne bi bilo.)

I tako smo mi državni logičari i filozofi išli busom na izlet. Pokraj mene je sjedio neki filozof. Ne znam kako smo došli do toga, ali on je rekao da nula nije broj. Najprije sam mislio da hoće reći da nula nije prirodan broj, na što sam odgovorio da je to stvar definicije, da većina matematičara zaista definira skup prirodnih brojeva bez nule (1, 2, 3, …), ali da se on može definirati i s nulom. Kao što se krug može definirati tako da uključuje ili ne uključuje kružnicu. Stvar dogovora.

Ali ne, nije on mislio na skup prirodnih brojeva, on je tvrdio nešto mnogo jednostavnije i dublje. Nula nije broj, nikakav broj. I džaba sam mu ja objašnjavao da je nula i cijeli broj, i racionalan, i realan broj i svašta još, nije to njega ništa diralo. Njegov argument bio je tipično filozofski, ovako nešto: nula je ništa – doslovno ništa –  a budući da ništa ne može biti nešto, onda ne može biti ni broj. O ničemu je zapravo nemoguće uopće razmišljati. Možemo pojmiti i minus pi kroz tisuću, i imaginarnu jedinicu, sve su to legitimni brojevi, ali ne i nula, on nije pojam, on je ne-pojam. Možemo ga samo ne pojmiti. Tako nešto, jel.

I eto, mogao sam ja koliko hoću objašnjavati čovjeku da je upravo srušio cijelu matematiku, nije se on ništa uzrujavao, imao je taj miran stav blaženog uvjerenja o nečemu što je za njega potpuno očito. Bilo mu je zbilja čudno što se ja toliko nerviram. U povratku sam sjedio u drugom dijelu autobusa.

To me podsjetilo na još neka slična pitanja o nuli. Recimo, kad nam je u V. gimnaziji matematiku predavao legendarni Pjer Mladinić, na početku sata pitao bi: tko je riješio domaću zadaću? I digli bismo ruke. Onda bi pitao: tko nije riješio zadaću? I neki bi digli ruke. E sad, zanimljiva situacija nastala je kad nije bilo domaće zadaće, a on je opet postavio ista pitanja. Tko ima zadaću, tko nema zadaću. I što sad? Biste li digli ruku da imate zadaću? Ili da je nemate? Ili možda oboje?

Prema Pjerovom viđenju, ispravno je dići ruku u oba slučaja. Imate zadaću jer ste riješili svih nula zadataka, ali istodobno je i nemate jer niste riješili nijedan zadatak.

Moderna predikatna logika (logika prvog reda) svakako bi se složila s prvom tvrdnjom: svaki zadatak iz zadaće je riješen (jer nema zadatka koji nije riješen). Kao što je istinita tvrdnja “svi ljudi na Saturnu imaju tri noge” jer na Saturnu nema ljudi pa tvrdnja zaista vrijedi za svih nula ljudi na Saturnu. Negacija bi bila da postoji čovjek na Saturnu koji nema tri noge, a ona je očito lažna, pa je početna tvrdnja istinita.

Ali manje je jasno je li ispravno reći i nemam zadaću. Jer nije posve jasno što uopće znači ta tvrdnja u slučaju kada nije bilo zadaće. Ako ona znači negaciju od imam zadaću, onda je to laž jer smo već utvrdili da je imam zadaću istina. Po Pjerovom shvaćanju, dakle, nemam zadaću znači nešto drugo. Ako to znači “riješio sam nula zadataka”, to bi zaista bila istina, ali onda ne bi “štimao” slučaj kad su riješena npr. dva od deset zadataka, koji također spada u nemam zadaću. Ako pak znači “nisam riješio sve zadatke”, to je isto kao “postoji zadatak koji nisam riješio”, što je laž u slučaju kada nije bilo zadaće pa ipak ne treba dići ruku. Kako god okrenemo, izgleda da je Pjer pogriješio.

No nisam ni spomenuo da je postojalo i treće pitanje: tko ima djelomično zadaću? (Djelomično u značenju barem 70%, ali ne cijelu.) Je li ta tvrdnja istinita kada nije bilo zadaće? Ovo pitanje ostavljamo čitateljima za domaću zadaću. Htio bih se vratiti na prethodni zaključak: ako nešto nemate, možete reći da imate nula. Tako, recimo, ako na natjecanju niste riješili nijedan zadatak, recite da ste riješili nula zadataka. Ako ste zaboravili novčanik, recite da imate nula novaca. Ako nemate automobil, recite da imate nula automobila. Ako želite iznervirati matematičara, uvjeravajte ga da nula nije broj. Onako kako sam ja to proživio u onom busu.

Koja je poanta ovog posta? Nadam se da je jasno. Ovaj post ima određen broj poanti. Broj, naravno da je broj.

Jedna misao o “Digresija: i nula je broj

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s