Godine 2010. bio sam u prvoj generaciji maturanata koja je pisala državnu maturu. Dok još nismo znali sve detalje, razmišljali smo kako će biti implementirano upisivanje kandidata na studije na temelju rang lista i preferencija kandidata. Preciznije, problem je sljedeći. Svaki kandidat ima svoju rang listu studija koje preferira; svaki studij ima svoju rang listu kandidata (na osnovi rezultata državne mature i drugih kriterija) i određenu kvotu tj. najveći broj kandidata koje može upisati. Svakom kandidatu treba dodijeliti (najviše) jedan studij tako da… Tako da što?

Cilj je barem intuitivno (uglavnom) jasan, a neki početni algoritmi odmah padaju na pamet. Ali nije baš svaka ideja ispravna. Recimo, kandidata koji je prvi na rang-listi FER-a ne želimo nužno upisati na FER jer on možda preferira PMF. Ali slična ideja iz perspektive kandidata je točna: studij koji je prvi na rang-listi nekog kandidata, a on se nalazi unutar kvote na rang listi tog studija, možemo odmah dodijeliti tom kandidatu i obrisati ga s ostalih rang lista. To možemo činiti dok god ide.

Ali na kraju nam ostaje situacija gdje pridruživanje prestaje biti trivijalno. Najjednostavniji primjer je situacija gdje Ana preferira FER > PMF, Iva preferira PMF > FER, ostalo je još po jedno mjesto na oba studija, ali na FER-u je Iva ispred Ane dok je na PMF-u Ana ispred Ive. Ovdje su važnije preferencije kandidata pa očito treba Anu upisati na FER, a Ivu na PMF, ali gornji algoritam će naprosto stati jer nijedna nije unutar odgovarajuće kvote.

Postoje, naravno, i složeniji primjeri. Ako u takvoj situaciji pokušamo nekog kandidata upisati na njegov prvi studij neovisno o kvoti, možda ćemo pogriješiti. Primjerice, ako to učinimo s Markom koji preferira FER, ali je na FER-ovoj listi ispod Ane i Ive. Tu se sada možemo zapitati zašto je točno taj izbor pogrešan, što točno želimo postići, kako precizno definirati problem.

Netko će reći – dat ćemo prednost Ani nad Markom jer oboje imaju prvi izbor FER ali je Ana tamo bolja iako nijedno nije u kvoti. Ali što ako je Ani FER drugi izbor nakon KIF-a gdje ne može upasti (ali ga ne može ni obrisati jer ni na KIF-u nije ispunjena kvota)? Koga onda upisati na FER? Kao što rekoh, nije trivijalno…

Ne sjećam se koje smo rješenje tada smislili, ali sjećam se da je upisivanje u praksi išlo tako da su bile objavljene sve rang liste i postojao je određeni rok (dva ili tri dana) u kojem su kandidati sami trebali odabrati studij (od onih gdje su bili unutar kvote na rang listi), čime su oslobađali mjesta drugim kandidatima na drugim listama. Algoritam je, dakle, bio delegiran nama učenicima! Ne znam kako je tu riješen gornji problem kad je svatko unutar kvote radije htio neki drugi studij – jesu li malo povećali kvote (barem privremeno) da bi to riješili, ili su ostavili to ograničenje pa su Ana i Iva iz gornjeg primjera morale izabrati lošije od optimalnog? I što ako su neki kandidati bili spori pa su neki drugi zakasnili jer su ih morali čekati? Ne znam, ali čini mi se da je sada to riješeno pametnije, sudeći po onome što piše na https://www.studij.hr/sve-o-prijavama:

Rang-liste kandidata po studijskim programima formiraju se računalnim algoritmom koji za svakoga kandidata pronalazi studij na kojemu može ostvariti pravo upisa, u ovisnosti o postavljenim prioritetima.

Kandidati kad vide preliminarne liste, mogu mijenjati svoje liste prioriteta i tako utjecati na ishod, ali zadnju riječ očito ima računalo. Odlično! Ali još uvijek ne piše koji algoritam se koristi.

Kako god bilo, riječ je o poznatom problemu iz naslova ovog posta, koji neki zovu i Hospitals/Residents Problem, a rješava se Gale-Shapleyevim algoritmom iz 1962. Izgleda da popisu zemalja koje ga koriste treba dodati i Hrvatsku:

Roth [19] discovered that the very same method had already been implemented in 1952 in the National Resident Matching Program, the centralised matching scheme that coordinates junior doctor recruitment in the US. Since then, similar matching schemes have been organised in many countries to allocate graduating medical students to hospital posts (hence the alternative name for the problem), and these matching schemes are widely used for other professions as well. Gusfield and Irving [12] and Roth and Sotomayor [22] provide the classical results and background material for this problem. Regarding the original context, the Gale–Shapley algorithm is also used in handling higher education admissions in a number of countries, including Spain [18], Turkey [4] and Hungary [5] (whilst a different method is used for medicine and related subjects in Germany [7]). Moreover, the same kinds of admission system have been introduced for secondary schools in, amongst others, Boston [2], New York [1] and again Hungary [5]. [izvor]

A za one koji još nisu uspjeli definirati problem, evo spoilera. Rješenje je stabilno ako ne postoji par (kandidat A, studij B) gdje i A i B “preferiraju” jedan drugoga u odnosu na rješenje, tj. A preferira B nad studijem gdje je upisan (ili nije nigdje upisan) dok je na B upisan neki student koji je na toj rang listi lošiji od A. Postoji više stabilnih rješenja, ali samo jedno resident-optimalno, što znači da je svaki kandidat upisan na studij koji mu je najbolji u svim stabilnim rješenjima, ili nije nigdje upisan ni u jednom stabilnom rješenju. Spomenuti algoritam daje to rješenje (Theorem 1).

Neke od vas moglo bi zanimati (kao što je mene zanimalo) koliko će vam znanje algoritama, napose onih s natjecanja, pomoći u “stvarnom svijetu” tj. u radu u znanosti ili softverskoj industriji. Dok je grubi i vrlo načelan odgovor taj da će pomoći jako, ali možda više neizravno (u načinu razmišljanja i programiranja) nego izravno, za primjenu u znanosti odgovorit ću navodeći primjere onih svojih članaka koji su s takvim, kombinatornim algoritmima povezani na očitiji način. Krenimo redom, kronološki.

1. Još 2012., kao student preddiplomskog studija na PMF-u, s profesorom Željkom Ilićem s FER-a napisao sam članak iz telekomunikacija gdje smo definirali odgovarajući problem tako da se može riješiti dinamičkim programiranjem. Evo ukratko o čemu se radi. U nekim bežičnim mrežama (OFDMA) signal se šalje većem broju korisnika na način da ga svaki korisnik sluša na svojim frekvencijskim potkanalima. Postavlja se pitanje podjele potkanala na korisnike (za svaki potkanal odlučiti kojem korisniku ide) ako znamo koliko kojem korisniku “paše” neki potkanal (kapacitet/brzina tj. data rate); te podatke možemo promatrati kao matricu dimenzija broj potkanala × broj korisnika. E sad, uvedemo li ograničenje da svaki korisnik mora dobiti uzastopni niz potkanala ili slot (što se opravdava potrebom za manjom količinom signalizacije i realnom sličnošću vrijednosti susjednih potkanala), ukupni maksimum dobije se jednostavnom dinamikom gdje dp(k, m) označava optimalnu podjelu prvih m potkanala na prvih k korisnika, gdje su korisnici prethodno heuristički sortirani.
2. Drugi članak s istom tematikom radio sam s još jednim algoritmašem, prijateljem Marinom Smiljanićem (i spomenutim prof. Ilićem). Ovdje smo razmatrali i fairness tj. potrebu da korisnici budu zadovoljeni u određenim omjerima, što smo riješili pohlepnom heuristikom – evo “screenshota” iz članka (chunk je unaprijed fiksiran skup uzastopnih potkanala): Potom treba rasporediti snagu po potkanalima da se maksimizira ukupna brzina. Nakon malo matematike to se svodi na jednadžbu oblika f(x) = P, gdje je P ukupna snaga koju raspoređujemo. Budući da je f rastuća, jednadžba se riješi binarnim pretraživanjem.
3. Navest ću i konferencijski članak čiji sam koautor, a glavni je i najzaslužniji autor moj kolega Petar Afrić. Riječ je o kombinatornom problemu vezanom uz grafove, tzv. school bus routing problem, gdje (pojednostavljeno rečeno) učenici trebaju biti dodijeljeni potencijalnim autobusnim postajama te se trebaju konstruirati rute autobusa tako da se svi učenici prevezu do škole uz što manju ukupnu udaljenost. Problem u praksi nije optimalno rješiv jer je NP-težak. Afrić je smislio vrlo zanimljiv heuristički algoritam; ovdje ga ne opisujem jer bi zauzeo previše mjesta.
4. U članku koji je dio mog doktorata (pod mentorstvom prof. Marina Šilića) bavim se problemom odabira instanci web usluga u oblaku: koja instanca će odgovoriti na koji zahtjev (request) u određenom trenutku, a da se nijedna ne preoptereti i da se zadovolje određena ograničenja na kvalitetu usluge? Vrlo pojednostavljeno, to je nekakav višekriterijski matching. Taj sam problem, uz određene heurističke definicije cijene i drugih varijabli, sveo na kombinatorni transportation problem koji je poseban slučaj minimum-cost maximum-flow problema i rješava se poznatim algoritmima.

Nije mi poznato primjenjuje li se neki od ovih algoritama u praksi: znanost predlaže modele, a industrija ih može i ne mora pratiti i implementirati. U nedostatku aktualne primjene valja se prisjetiti da je doprinos znanosti vrlo rijetko izravan: jedan rad se nadovezuje na drugi, drugi na treći, treći na četvrti i tako dalje, u nadi za konvergencijom u nešto što će ljudima olakšati život. Ako vam to ne zvuči uvjerljivo, možda biste trebali ići u industriju; tamo je i više novaca. Zbog uobičajene politike znanstvenih časopisa koji zarađuju na pretplatama, ovi članci nisu javno dostupni pa ih ne smijem ni javno objaviti. Ako je netko zainteresiran da ih pročita, neka mi se slobodno javi preko kontakt forme. Ono što mogu objaviti je prezentacija u kojoj je velik dio posvećen radu pod brojem 4, te Afrićeva prezentacija o radu pod brojem 3.

Ovu anegdotu o podjeli troškova zapisao sam prije pet ili više godina, a inspirirana je stvarnim događajem.

Mirko i Slavko taksijem su se vraćali iz kazališta kući. Kako Mirko živi bliže kazalištu nego Slavko, taksi je prvo vozio do Mirkova doma. Kad je stigao, na taksimetru je pisalo 40 kuna. Mirko je izašao, a taksi je vozio dalje do Slavkova doma: kad je stigao, na taksimetru je pisalo 70 kuna. Cijeli račun platio je Slavko. 

Sljedećeg dana nastala je rasprava oko pitanja: koliko je Mirko dužan Slavku? Drugim riječima, od ukupno 70 kuna za taksi, koliko treba platiti Mirko, a koliko Slavko?

Slavko: Da nam bude lakše razmišljati, pretpostavimo da je jedna kuna cijena jedne minute vožnje.

Mirko: U redu. Stvar je onda jednostavna: ja sam se vozio 40 minuta, a ti 70 minuta. Jasno je da cijenu valja dijeliti u omjeru 40 : 70. Kada to izračunamo, dobivamo da ja trebam platiti 25.45 kuna, a ti 44.55 kuna.

Slavko: Ni slučajno! Ja sam se zaista vozio 70 minuta, ali samo zato što je taksi prvo tebe vozio kući, pa je zato do moje kuće vozio duljim putem. Da je taksi najprije vozio mene, vozio bih se samo 50 minuta!

Mirko: Ne možeš razmatrati tu mogućnost jer se nije dogodila. Ona bi nam bila skuplja jer bi tada ukupna cijena bila 80 kuna (50 minuta do tvoje i još 30 minuta do moje kuće). Odabrali smo povoljniju mogućnost i samo nju treba razmatrati.

Slavko: U redu; evo jednog primjera kojim ću pokazati da ti zaključivanje ne valja. Pretpostavimo da ja živim jednako udaljen od kazališta kao i ti. Pratiš li me?

Mirko: Pratim.

Slavko: Kad bi taksi najprije vozio do tebe 40 minuta i potom do mene još 5 minuta, u kojem bismo onda omjeru dijelili cijenu?

Mirko: 40 : 45.

Slavko: A u drugom slučaju, kad bi taksi najprije mene doveo kući, a tek onda tebe?

Mirko: U tom bi slučaju bilo obrnuto: ja bih platio dulji put, a ti kraći. Dakle, 45 : 40.

Slavko: Ali ukupna cijena bila bi ista u oba slučaja. To znači da bi naša podjela ovisila o odabiru između dviju jednako povoljnih mogućnosti i počeli bismo se svađati oko pitanja koga bi taksi trebao dovesti prvoga. Ne bi li onda jednostavno bilo najpravednije da platimo jednaku cijenu, tj. da omjer bude 1 : 1?

Mirko: U redu, u tom slučaju bi bilo.

Slavko: Slažeš li se onda da u našem, stvarnom slučaju, cijenu trebamo dijeliti u omjeru udaljenosti od kazališta – 40 : 50? Jer ja bih se vozio 50 minuta, mnogo kraćim putem, da taksi nije najprije tebe odvezao.

Mirko: I dalje se ne slažem jer u našem slučaju mogućnosti nisu jednako povoljne.

Slavko: U redu, promotrimo malo drugačiji primjer. Pretpostavimo da sam ja udaljen od kazališta 41 minutu, samo jednu više nego ti (ali u drugom smjeru). Kad bi taksi najprije vozio do tebe 40 minuta i potom do mene još 30 minuta, u kojem bismo onda omjeru dijelili cijenu?

Mirko: Opet 40 : 70. Ali u tom slučaju ti bi platio više nego da si sam išao taksijem, pa se tebi taksi ne bi isplatilo uzimati.

Slavko: E tu sam te čekao! Jer ako bismo tada dijelili trošak u omjeru najkraćih putova, dakle 40 : 41, taksi bi se isplatilo uzeti i meni i tebi. Slažeš li se onda da je taj omjer bolji?

Mirko: Da, u tom slučaju jest. Ali ovo nije takav slučaj, ovdje se tebi taksi isplatio čak i ako se složiš s omjerom 40 : 70 za koji mislim da je ispravan. Dopusti da i ja tebi predstavim jedan primjer. Pretpostavimo da si od kazališta udaljen 70 minuta najkraćim putem, ali u istom smjeru kao ja, tako da bi taksi vozio 40 minuta do mene i potom 30 minuta do tebe kao u našem slučaju. Bi li se onda složio s omjerom 40 : 70?

Slavko: Da, točno tada bih se s njime složio.

Mirko: Ali u čemu je razlika između tog slučaja i našeg, stvarnog, ako su cijene potpuno iste? Kakve veze ima najkraći put od kazališta do tvoje kuće ako taksi tim putem nije vozio? Važan je stvarni put koji je taksi prešao jer je na temelju njega određena ukupna cijena koju plaćamo. Jedine udaljenosti koje valja uračunati su one koje je taksi zaista prešao, a to su udaljenost od kazališta do moje kuće, te udaljenost od moje do tvoje kuće.

Slavko: To nije pravedno: do svoje kuće računaš najkraći put, a do moje ne računaš nakraći, nego znatno dulji put.

Mirko: Ali taksi je do tvoje kuće morao ići duljim putem.

Slavko: Da, zbog tebe! Ja sam ti učinio uslugu: taksi je do moje kuće išao duljim putem samo zato da usput doveze i tebe. Umjesto da mi ta činjenica ide u prilog, ti mi tu uslugu još naplaćuješ!

Mirko: I ja sam tebi učinio uslugu, jer da si taksijem išao sam, platio bi 50 kuna, a ovako smo dio cijene podijelili te zapravo trebaš platiti manje!

Slavko: Ne slažem se. Kao što rekoh, ispravan omjer je 40 : 50, što znači da ti trebaš platiti 31.11, a ja 38.89 kuna.

Tko je u pravu?

U pretprošloj objavi bila je riječ o igrama botova i AISportsu. Ovdje se prisjećam HSIN-ove Zimske škole informatike u Krapini 2011. godine kada smo Ivica Kičić i ja organizirali jednu takvu igru. Nije to bio prvi put da se na kampu radi igra botova, Kalinovčić i ekipa organizirali su nešto slično na nekim još davnijim kampovima, mislim da je u pitanju bila neka inačica igre Achtung, die Kurve!. Naša je igra bila drugačija, jednostavnija i možda manje zanimljiva za gledanje sa strane. Na turniru je pobijedio Tomislav Tunković.

O toj igri napisao sam članak za Matematičko-fizički list koji možete pronaći ovdje. Taj članak i nije naročito stručan jer tada nisam znao za teoriju igara, miješane strategije, strojno učenje i slično. Vjerojatno postoje i bolje strategije od navedenih.

Je li vam se ikada dogodilo da vas na Messengeru kontaktira nepoznata cura/mladić te vas vrbuje za nekakav navodno dobro plaćen studentski posao, vezan za promociju neke nove firme ili proizvoda koji je navodno u velikom usponu? Meni se to dogodilo dvaput, a prijatelja su i na ulici zaustavili za tako nešto i gnjavili desetak minuta. Srećom, odgovaranje na spam može biti zabavno: odlučio sam uzvratiti istom mjerom i ponašati se upravo poput osobe koja me gnjavi. Neće ona mene vrbovati, vrbovat ću ja nju, ponudit ću joj posao iz snova. Umjesto odgovora na njezino pitanje, napisao sam joj sljedeće:

Moji prijatelji i ja želimo pokrenuti Matematički radio, a to bi bio radio s matematičkim emisijama, zadatcima, vijestima iz teorijske matematike i slično. U procesu smo traženja frekvencije i treba nam osoba koja će to handlati. Osim toga tražimo spikere, spikerice, urednike (ne nužno s matematičkom pozadinom), osobe za promociju na društvenim mrežama, osobe za brandiranje i stvaranje branda, dizajnere logotipa i vizualnog identiteta, kao i osobe koje će promocijom na društvenim mrežama uvjeriti “običnu” publiku da matematika nije bauk i da slušanje matematičkog radija može biti izvrsno za opuštanje tijekom radnog dana ili prilikom putovanja u školu, faks ili posao, tijekom vožnje automobilom, tramvajem, autobusom, brodom…

Emisije koje smo već osmislili uključuju “Buđenje uz kombinatornu geometriju”, “Jutarnje vijesti iz teorijske matematike”, “Zadatak dana”, “Vježba iz diferencijalne topologije”, “Stanje u prometu”, “Celebrity kutak: vijesti s matematičke estrade” i “Večer uz harmonijsku analizu”.

Pa kako ti to zvuči?

Cura je to pristojno odbila, ali nisam odmah odustao, možda je privuku još neke emisije…

Ubacit ćemo i Nagradne zadatke iz normiranih prostora i Kviz iz numeričke analize. Jer želimo privući što više slušatelja.

No reply.

Možda kasno navečer “Opuštanje uz dvostruke integrale”.

No reply.

I “Zadatak za laku noć”.

No reply, kao što bi rekli Beatlesi. Nema veze, ja sam svoje napravio. Ali dužan sam objasniti što je Matematički radio i je li to zbilja samo neozbiljna šala ili možda i nešto više.

Kako je sve počelo

Kao što se, recimo, hrvatski jezik u povijesti prvi put spominje u nekom dokumentu na glagoljici, tako se Matematički radio prvi put spominje u jednom informatičkom zadatku. Riječ je o tekstu zadatka Dom (HONI 2012.). U toj priči vlada pokušava zadržati mlade genijalce da ne odlaze u inozemstvo tako što im šalje subliminalne poruke putem matematičkog radija. Nije rečeno kakav je to matematički radio, ali pretpostavlja se da ga mladi genijalci slušaju. Bilo bi odlično, pomislio sam, kad bi zaista postojao takav radio. Slijedeći savjet iz jedne pjesme U2-a (“You can dream, so dream out loud”), odlučio sam o toj ideji i manje-više javno govoriti.

Odakle krenuti? Sjećate se kad su Kumerle i Irena, u odličnoj seriji Bitange i princeze, odlučili krenuti u glazbene vode i napraviti hit pjesmu? Sve je bilo spremno za snimanje golišavog spota, redatelj je zatražio CD da posluša pjesmu prije snimanja, a oni su rekli da još nemaju pjesmu. Redatelj je poludio: kako nemate pjesmu? Zašto onda snimate spot? A Kumerle je mudro odbrusio: Pa moraš od nečeg počet!

E tako sam i ja odlučio krenuti od logotipa. Nacrtao sam ga u stanovitom grafičkom alatu (nije sada važno u kojem) i odmah stavio na fejs:

Reakcije su bile, recimo to tako, nejasne (mixed reactions). Zaključio sam da mi očito treba bolji logotip, pa sam napravio još tri prijedloga, a usput definirao i radijsku frekvenciju:

Rekli su mi da trebam smisliti i slogan. Budući da je riječ o edukativnom radiju, predložio sam jednostavno: Matematički radio: slušaj i uči.

Na to mi je prijatelj odgovorio da je bolje Slušaj, šuti i uči. Ili, još bolje: Slušaj i šuti.

Matematički radio: slušaj i šuti

Zadnji update u vezi Matematičkog radija dogodio se kad sam napokon osmislio jedan dnevni program i odlučio ga objaviti.

Možda ste primijetili, a možda i niste, da je post objavljen prvoga travnja. Ispada da je sve šala i zajebancija, zar ne? To je samo dio istine. Matematički radio jest šala i zajebancija, ali on je i mnogo više od toga. Matematički radio je ideja, koncept čija je ljepota očigledna onima koji žive za matematiku i slične znanosti. To je nešto što bi u raju (ako ga ima) sigurno postojalo: Bog ne bi matematičare poslao u raj u kojemu nema Matematičkog radija. To je radijska postaja koju bi većina čitatelja ovog bloga (ako ih ima) sigurno palila prije svih ostalih. To je svjetiljka svoj onoj djeci koju roditelji tjeraju da se idu vani igrati s prijateljima dok im na stolu stoji neriješena nejednakost s državnog 2001. ili sa shortlista 1996. To je ideja koja je sasvim bizarna – matematika je u praksi vizualna, ona se čita/piše, može se i gledati na youtube videima, no vrlo ju je teško samo slušati na nekakvom radiju – ali ta bizarnost Matematičkom radiju daje nadnaravni duh. Poanta radija i jest u njegovoj nevidljivosti i nematerijalnosti, što vrijedi i za matematiku.

Matematički radio trebamo pokrenuti kao spomenik matematici i zato ovo neće biti posljednji post o toj ideji. Prvoaprilske šale mogu potrajati: i ovaj blog (Blogaritam) pokrenut je na prvi april. A čuo sam da je, prema nekim izračunima, i naš svemir nastao na prvi april. Možda je sve ovo jedan veliki Matematički radio.

Dan prije američkih predsjedničkih izbora 1996., New York Times objavio je križaljku u kojoj je jedan od pojmova bio opisan kao sutrašnja glavna vijest: ******* ELECTED. Je li autor križaljke predvidio izbornog pobjednika?

Genijalnost je bila u tome da se križaljka mogla riješiti na dva jednako ispravna načina: kao novi predsjednik mogao je stajati i CLINTON i BOB DOLE, a da ostali pojmovi i dalje odgovaraju svojim opisima. Npr. black halloween animal ispao je CAT u slučaju CLINTON, a BAT u slučaju BOB DOLE. I tako dalje. Križaljku je sastavio matematičar Jeremiah Farrell.

Dva rješenja ove križaljke razlikuju se u jednom pojmu. Može li više?

U tome je uspio još jedan genijalac, filozof Daniel Dennett. Sastavio je križaljku u kojoj se dva rješenja razlikuju potpuno, dakle u svim pojmovima. Osoba A i osoba B mogu ispravno riješiti križaljku, a da im se, kada usporede rješenja, nijedna riječ (ili čak nijedno slovo) ne podudara, iako za svaki opis i A i B imaju dobar pojam na odgovarajućem mjestu. Križaljku je nazvao kvinijskom (Quinian crossword puzzle) jer ju je upotrijebio da bi ilustrirao zamisao filozofa W. V. O. Quinea o nejednoznačnosti prijevoda (što ovdje nije bitno).

Dennettova prva križaljka izgledala je ovako:

Across Suck the resources out of Epoch Sleep furniture

Down Retentive membrane Earlier For some kids, a best friend

Nije baš lagana, pogotovo nama čiji je vokabular engleskog jezika ograničen. Meni je trebalo dosta guglanja da bih pronašao oba moguća rješenja, a pomogao je i rječnik sinonima. Otkrit ću vam da retentive membrane (1 okomito) može biti web ili sac.

Poslije je unaprijedio svoju kvinijsku križaljku, tj. sastavio bolju:

Across 1. Dirty stuff 5. A great human need 6. To make smooth 7. Movie actor

Down Vehicle dependent on H2O We usually want this Just above U.S. state (abbrev.)

(Oba) rješenja poslije ću otkriti u komentaru. No glavni je cilj ovog posta zadati jedan mnogo teži i ozbiljniji izazov. Vjerojatno ste ga dosad i naslutili.

Sastavimo prvu hrvatsku kvinijsku križaljku.

Sastaviti običnu 3 x 3 ili 4 x 4 križaljku nije naročito teško. No zahtijevamo li da križaljka ima još jedno rješenje, u pojmovima različito ali također ispravno tj. u skladu sa zadanim opisima, problem postaje brutalan. No Dennett ga je riješio, pa valjda možemo i mi. Hrvatski jezik, zbog pravilnije izmjene samoglasnika i suglasnika, pogodniji je od engleskog za sastavljanje križaljki – što možete uočiti i uspoređujući broj “crnih” (neiskorištenih) polja u prosječnoj hrvatskoj i prosječnoj engleskoj križaljci.

Rješenje će sigurno uključivati mnogo mašte u povezivanju naizgled nepovezanih pojmova istim opisom, ali problem ne bih spominjao na ovom mjestu kad ne bih mislio da može imati veze i s programiranjem. Imam neke ideje o smjerovima u kojima bi se moglo ići, ali zasad je bolje da ne utječem ni na koga. Bit će još koji post o tome, a do tada možda netko pametniji od mene ovo i uspije.