Knjiga koja se čita godinama

Govori se ovih dana o novom nobelovcu, fizičaru Rogeru Penroseu. Moj susret s njim dogodio se (i još se događa) kada mi je Ante Đerek povodom obrane doktorata poklonio njegovu knjigu The Road to Reality. Način da nekoga upoznamo, da uđemo u tuđi um i izravno čujemo njegove riječi, to su knjige. Oblik komunikacije, kao i blogovi i chat poruke, samo dulje i rjeđe. (Znam da je neobično objašnjavati što su knjige, ali možda je dobro.) Spomenuta The Road to Reality Penroseova je chat poruka od preko tisuću stranica u kojoj on, praktički od nule, pokušava objasniti svemir i sve njegove fundamentalne formule. Ovo je moj primjerak:

Prvu trećinu knjige čini sama matematika koja je potrebna za fiziku u ostatku knjige. Jedva čekam da dođem do fizike, jer matematika je pomalo naporna; već dugo sam stao na ovom mjestu jer (razumljivo) baš mi se i ne da:

Nedostaje mi samo malo discipline; nekoliko stranica dnevno i brzo bih prešao dosadne dijelove. Nema žurbe, to je projekt u kojemu se uživa godinama. Kao i poezija za koju sam nedavno naučio da ne treba čitati više od jedne pjesme dnevno – te su pjesme (neovisno o duljini) često mnogo “sporije” od matematike. Kad je Dylan pitao Cohena koliko mu je trebalo da napiše pjesmu Hallelujah, odgovor je bio dvije godine, iako kažu da mu je zapravo trebalo pet godina. Ja ću je možda razumjeti za deset. Penrose je ovu knjigu (The Road to Reality) pisao osam godina. Da je pisao brže, možda bi napisao više knjiga, ali one bi bile lošije. Manje je više (less is more) i vrijeme treba ispuniti (bolje rečeno isprazniti) jednostavnim ritualima: gašenjem konekcije, malim kavama s mlijekom koje se dugo ispijaju, stranicama koje se dugo i polako čitaju. Trebale su nam tisuće godina za razumijevanje svemira (i nismo još gotovi), a sada to znanje imamo na tisuću stranica jedne knjige. Stoga ako i cijeli život čitamo samo tu knjigu, vrijedno je. Iz te perspektive sljedeći vic u sebi nosi duboku mudrost: kad je Mujo pitao Hasu što želi za rođendan, želi li možda knjigu, Haso je odgovorio da već ima jednu.

Digresija: suvišnost matematike i jedna nova igra

Real mathematics is almost wholly useless.

– G. H. Hardy, “A Mathematician’s Apology

Teorija brojeva nekada je (u vrijeme gornjeg citata) bila praktično beskorisna, ali onda se pojavila kriptografija. Netko anoniman na internetu je napisao: “Mathematicians have had an exceedingly difficult time finding truly useless mathematics. And they’ve been trying for thousands of years.” Poanta nije u tome da velik dio matematike kad-tad nađe svoju primjenu, nego u tome da u početku ta primjena ne postoji – i zato je Hardyjev citat istinit. Ima nešto poetično, a mnogima i nejasno, u matematičaru koji proučava neka opskurna svojstva prirodnih brojeva ili tako nečega, dugo nakon što je prerastao natjecanja i nadmetanja s kolegama, ne zato, nego iz čiste želje i užitka. Iz istog razloga iz kojeg netko drugi rješava sudoku, skuplja salvete, čita hrvatsku poeziju ili proučava analitičke filozofe koji ne zanimaju nijednog od njegovih poznanika.

To ne razumiju oni ljudi (a ima ih mnogo) koji su uvijek goal-oriented, koji svemu traže svrhu i ne vide ljepotu suvišnog – onoga što uopće ne trebamo raditi. Takvi obično ne razumiju umjetnost i uvijek se pitaju što netko želi postići, koje su mu namjere, koja je poruka. Nema poruke! Nema drugih namjera! Takvi bi imali problema i s razumijevanjem ovog bloga. Jer on uza sve svoje korisne stvari, ruku na srce, obiluje i beskorisnim idejama o koječemu. Da budem potpuno jasan, one nemaju nikakvu svrhu, osim samih sebe, svoje potencijalne zanimljivosti i ljepote. Tako je, recimo, Igor Stravinski rekao da glazba nije sposobna izraziti ništa osim sebe same. Very true!

U duhu ovih odlomaka odlučio sam ovdje podijeliti jednu igru koju sam izmislio u snu. (Toliko je čudna da je i mogla nastati samo u snu.) Najprije valja spomenuti postojeću igru The Game koja se igra cijeli život i ima samo jedno pravilo: svaki put kada igrač pomisli na tu igru, on gubi. Cilj je, dakle, ne misliti na tu igru – igra se pobjeđuje misleći o drugim stvarima. Postoje majice na kojima piše “You lose The Game!” koje uzrokuju mnoge poraze u igri (onih igrača koji vide tu majicu).

E sad, igra koju sam izmislio nije naročito originalna u smislu da je potpuno ista kao The Game, samo ima drugačije ime: zove se The Game Too. Ovaj too dolazi kao igra riječima prema The Game 2, tj. The Game Two (druga verzija Gamea).

Odmah se postavlja vrlo opravdano pitanje jesu li dvije igre koje imaju potpuno ista pravila zapravo iste, je li riječ o plagijatu. No ovdje je situacija specifična. Poanta postojanja igre s drugačijim imenom leži u njezinom odnosu s prvom, standardnom igrom. Jer sada postoje igrači koji igraju obje igre. I svaki put kada netko od njih pomisli na The Game, postoji solidna šansa da pomisli i na The Game Too, i onda njegova izjava glasi: “I lost The Game, and I lost The Game Too!” (Vidite li sada svrhu igre riječima two -> too? :))

Postoje i druga zanimljiva pitanja vezana za odnos između ovih igara. Recimo, hoće li se nekome od igrača koji igraju obje igre dogoditi da se sjeti The Gamea, ali zaboravi na The Game Too? A je li moguće, je li ikako moguće, da se sjeti samo The Game Too? Hoće li postojati igrači koji će čuti samo za The Game Too i tako uvijek pobjeđivati u The Gameu, za koju nikada neće čuti? To će biti rijetki sretnici; njima moramo “prodati” neko drugo objašnjenje za ovaj Too da ih ostavimo u neznanju o postojanju standardne inačice igre.

Postoje prijepori oko toga igraju li The Game svi ljudi na svijetu ili samo oni koji znaju za tu igru. Kao autor i apsolutni gospodar igre The Game Too, odlučio sam definirati da tu igru igraju svi na svijetu. To znači da velika većina ljudi na svijetu stalno pobjeđuje u The Game Too (naravno i oni koji gube u The Game) i to je jako dobro. Širenjem glasa o novoj igri povećat će se broj njezinih gubitnika, što je s jedne strane loše (nitko ne voli gubiti), ali s druge strane dobro, jer povećava broj potencijalnih novih igara – novih inačica The Gamea – koje će ti ljudi izmisliti. Vidite, postoji vrlo razuman razlog zašto nisam otišao dalje i izmislio, recimo, The Game Three ili tako nešto – zato jer u takvoj igri onda ne bih pobjeđivao. Moj je cilj da drugi ljudi po uzoru na mene izmisle mnogo, što više novih inačica The Gamea u kojima ću onda ja (budući da ne znam za njih) uvijek pobjeđivati.

Jezik i umjetna inteligencija

U jednom od prethodnih postova napisao sam da se umjetna inteligencija, točnije neuronska mreža, može svesti na matematičku formulu. Tehnički gledano to je točno, ali i varljivo jer daje krivu intuiciju: ono što zamišljamo kad čujemo za matematičku formulu, iako “znamo” da je “jako velika i složena”, nije neuronska mreža. Slična pogrešna intuicija koja banalizira moć softvera nalazi se u pozadini Chinese Room argumenta Johna Searlea koji sam spomenuo u istom postu. Tako nam je čudno što svijest, inteligencija ili slobodna volja mogu nastati iz interakcije čestica ili formula/algoritama. Naprosto nemamo osjećaj za pojave koji izviru iz low-level fenomena ako se usredotočimo samo na tu razinu. Andrew Steane u knjizi Science and Humanity piše:

“When we say that a monkey is a collection of atoms and molecules, we are right, but that does not logically imply that we understand monkey behaviour, and furthermore, neither does it imply that our current best understanding of molecules is sufficient to support a correct model of monkey behaviour. In fact, it is the monkey behaviour itself that will teach us what monkey-shaped molecules can do. In this way, the monkey fills our understanding of what molecules are, at the same time as it fills out understanding of what monkeys are.”

Iz istog razloga, filozofske probleme umjetne inteligencije valja rješavati u suprotnom smjeru od onog Searlovog i intuitivnog. Umjesto da iz sastavnih dijelova (umjetnih neurona koji se mogu opisati formulama) zaključujemo za što bi AI mogao ili ne bi mogao biti sposoban, možemo samo obrnuto: iz njegovog ponašanja zaključiti za što su sposobni umjetni neuroni, prikladno organizirani na odgovarajući način. To je u skladu s našim iskustvom o ljudskom mozgu – tko bi na prvi pogled rekao da nakupina stanica može razmišljati i osjećati? I u skladu je s funkcionalizmom: consciousness is what consciousness does. Drugim riječima: If it looks like a duck, swims like a duck, and quacks like a duck, then it is a duck. Ne postoji suština, postoje samo svojstva.

A svojstva (relacije) su ključ razumijevanja umjetne inteligencije koja zna engleski jezik, dopunjava rečenice i odgovara na pitanja. Ugrubo, svaka riječ u njezinom je umu niz od nekoliko stotina brojeva (vektor) takav da značenjski odnosi među riječima odgovaraju matematičkim odnosima među vektorima koji predstavljaju te riječi. Primjeri takvih relacija su man : boy = woman : girl (ovdje omjer ne treba shvatiti doslovno) ili Paris – France + Italy = Rome ili Scientist – Einstein + Picasso = Painter ili Windows – Microsoft + Google = Android. Za detalje i bolje razumijevanje snažno preporučujem ovaj članak.

Netko bi sada mogao uputiti sljedeći prigovor:

AI zna samo odnose među različitim riječima, ali on ne zna pravo značenje nijedne riječi! On bi možda mogao napisati rječnik, tj. svaku riječ objasniti drugim riječima, ali nijednu od tih riječi on u glavi ne bi pridružio stvarnosti, za razliku od čovjeka.

Odgovor nije intuitivan, a glasi da ni mi (ljudi) ne znamo ništa osim relacija. Ako zamišljamo npr. pojam mlijeko, u našem mozgu ne postoji ništa slično mlijeku: sve što postoji je aktivacija određenih sinaptičkih veza, što nije toliko različito od matematičkih veza u AI. Netko će reći da u našoj svijesti postoji slika mlijeka. Ali ta je slika ponovno samo veza s drugim pojmovima: s bijelom bojom, s tekućinom, sa šalicom ili bocom ili tetrapakom ili što god je naša asocijacija na mlijeko i tako dalje. Ni ti drugi pojmovi u našoj glavi nisu drugo nego niz asocijacija. U konačnici dolazimo do osjetilnih pojmova (boje, zvukovi…) za koje možemo reći da ih izravno poznajemo. Ali i oni su u našem mozgu zapisani na način koji nema veze ni s bojom, ni sa zvukom: to je također reprezentacija, možda ne numerička (vektor) kao u slučaju umjetne inteligencije, ali i dalje u suštini matematička i funkcionalna samo po svojem odnosu s drugim reprezentacijama.

Ovdje je zgodno napomenuti da ni čestice možda nemaju suštinu. Svaki kvark ili elektron, ili koje god čestice / valovi / strune bile fundamentalne u smislu nedjeljivosti, u potpunosti su opisane svojim svojstvima i odgovarajućim brojevima (“what it does”) i vjerojatno nema smisla pitati od čega su napravljene (“what it is”). Iz te perspektive svemir je samo golemi skup matematičkih relacija, a gradivna tvar na najnižoj razini uopće ne postoji. Tako u knjizi Our Mathematical Universe Max Tegmark tvrdi da je stvarnost matematička struktura (i vremenska dimenzija je njezin dio) i da naš svemir postoji jednostavno zato što postoje sve matematičke strukture, same po sebi. To znači da iz istog trivijalnog razloga postoje svi mogući svemiri. Slično tvrdi i filozof David Lewis (doduše iz drugih razloga) u svojoj knjizi On the Plurality of Worlds: sve što je moguće, postoji. Bilo bi zbilja užasno da je to istina, ali to ne znači da nije.

Male tajne velikih brojeva

O nuli sam već pisao u postu I nula je broj. Ondje nisam spomenuo jedno zanimljivo svojstvo nule o kojemu ću sada govoriti, a bez kojeg matematički doživljaj ovog broja ne bi bio potpun.

Poanta nule nije u ništavilu, nego u potencijalu. Recimo, ako imam slobodan dan ili dio godišnjeg odmora s nula obaveza i planova, dakle, ako uopće ne znam kako ću ga provesti, osjećam se izvrsno jer potencijalno dopuštam svemu da se dogodi. John C. Parkin napisao je: “All things manifest from nothing. Leave space, lots of space, in your life.” Toga je bio svjestan i naš poznati matematičar Vladimir Devidé kada je ovako komentirao sljedeću japansku haiku pjesmu:

Koliba u proljeće:
ničega u njoj –
u njoj je sve!

(Sodō, 1642. – 1716.)

“Pročitavši to, bio sam kao ošinut. U proljeće, kad se sve budi, eto prazne kolibe koja upravo time što je prazna omogućava da sve uđe u nju, upravo ga zove. Nema ničega, nikakvih nepotrebnih stvari koje bi to priječile. Svo bujanje proljeća puni praznu kolibu svojim beskrajnim bogatstvom.”

Poanta minimalizma nije u redukciji broja stvari, nego u činjenici da oslobađanjem od suvišnih stvari ostavljamo mjesta za nove stvari. Recimo, jednom sam riješio jednadžbu tako što sam odlučio da je uopće neću riješiti. Neke sam knjige namjeravao pročitati, ali taj sam problem riješio odlukom da ih uopće neću pročitati. Idealno matematičko predavanje bilo bi ono u kojemu se ne bi govorilo o ničemu. Mnoge stvari u životu unaprijed su riješene odlukom da ih neće biti.

U sličnom smjeru ide i sljedeća ideja: možda je bolje kupiti ručni sat nego, recimo, gitaru ili bicikl. Naime, gitaru treba svirati, bicikl treba voziti, a sat radi sam od sebe: on uzima nula vremena i kao takav daje sve vrijeme svijeta! Nastavimo li ovako zaključivati, možda je još bolje kupiti zidnu sliku jer ona traži još manje od sata (ne treba je ni nositi na ruci). Potom, još je bolja neka stvar koju uopće ne možemo kupiti jer s njom ne moramo baš ništa, ni kupiti je ni išta s njom činiti. A najbolja je ona stvar za koju uopće ne znamo da postoji, jer onda ni ne znamo da s njom ne moramo ništa. Eto, to je poanta nule, to je poanta slobode i to je poanta godišnjeg odmora.

Može li računalo misliti?

Trenutačno je vruća tema novi AI model GPT-3 koji odlično razumije jezik i djeluje prilično inteligentno.

Naravno, riječ razumije ovdje nema značenje s kojim će se svi složiti. Pojednostavljeno rečeno, GPT-3 je duboka neuronska mreža, a to nije drugo nego ogromna matematička formula čiji se brojevi namještaju na osnovi milijardi primjera za učenje (tekstovi s Wikipedije i slično). Ugrubo, ona kao ulaz prima rečenicu, a izbacuje njezin nastavak ili odgovor na pitanje. Kao i svaki računalni program, tu bismo formulu teoretski mogli zapisati na (gotovo nezamislivo velikom) papiru i ručno je simulirati s možda nekoliko stoljeća računanja za samo jedan primjer, ali odgovori bi i dalje mogli biti takvi da ih ne možemo razlikovati od ljudskih. Ne mislim ovdje na “robotske” odgovore – AI je već sposoban djelovati osjećajno, veselo, tužno, kreativno, mudro, cinično, zaigrano i slično. No ima li tu ikakvog razumijevanja od strane umjetnog sustava, u onom smislu u kojemu za ljude kažemo da nešto razumiju? Je li AI svjestan?

O tom pitanju razmišljali su još mnogo prije samog AI-a. Filozof John Searle 1980. odgovara:

“Could a machine think?
The answer is, obviously, yes. We are precisely such machines.”

Ali potom nadodaje da digitalno računalo, koje nije biološki stroj (što je po njemu nužan uvjet za postojanje svijesti) to ne može, a njegov argument (Chinese Room) možete pročitati u njegovom slavnom članku Minds, brains, and programs. Isprovocirao je mnogo odgovora i osobno nisam siguran da mu argument stoji.

Moje je mišljenje da je takav AI svjestan jezika u onom smislu u kojemu smo mi svjesni sudokua koji rješavamo. Nama riječi znače više od (primjerice) brojeva jer smo čista biologija; jer nam mozak za svaku riječ (ručak, ljubav, voda, zagrljaj, poljubac, zrak, kraj, strah, smrt…) proizvodi asocijacije koje okidaju svjesne ili nesvjesne kemijsko-emocionalne reakcije. U određenom smislu sličniji smo jastozima nego računalu (vidi prvo poglavlje knjige 12 Rules for Life Jordana Petersona). Koliko god bili racionalni, naš je um oblikovan potrebama koje AI iz odgovarajućih tekstova možda može savršeno izučiti i oponašati, ali naprosto mu nedostaju prastari mehanizmi našeg živčanog sustava koji na njih reagiraju. To doduše ne znači da ih barem teoretski nije moguće programski simulirati. Tu mogućnost ostavlja i Daniel Dennett u još starijem članku Why You Can’t Make a Computer That Feels Pain.

Tako ni mi ne možemo razumjeti hipotetska (npr. digitalna) bića koja doživljavaju brojeve i pravila sudokua na sličan način na koji mi doživljavamo bol ili riječi koje je izazivaju – složenim mehanizmima živčanog sustava ili njihovim digitalnim ekvivalentima. Takva bića mogla bi se čuditi što mi tako uspješno rješavamo sudoku, ne znajući da mi sudoku (u usporedbi s njima) uopće ne razumijemo.

Digresija: Matematički radio

Disclaimer: ovo je zbilja digresija. U ovom postu nema nikakvih korisnih informacija.

Poslovna ponuda

Je li vam se ikada dogodilo da vas na Messengeru kontaktira nepoznata cura/mladić te vas vrbuje za nekakav navodno dobro plaćen studentski posao, vezan za promociju neke nove firme ili proizvoda koji je navodno u velikom usponu? Meni se to dogodilo dvaput, a prijatelja su i na ulici zaustavili za tako nešto i gnjavili desetak minuta. Srećom, odgovaranje na spam može biti zabavno: odlučio sam uzvratiti istom mjerom i ponašati se upravo poput osobe koja me gnjavi. Neće ona mene vrbovati, vrbovat ću ja nju, ponudit ću joj posao iz snova. Umjesto odgovora na njezino pitanje, napisao sam joj sljedeće:

Moji prijatelji i ja želimo pokrenuti Matematički radio, a to bi bio radio s matematičkim emisijama, zadatcima, vijestima iz teorijske matematike i slično. U procesu smo traženja frekvencije i treba nam osoba koja će to handlati. Osim toga tražimo spikere, spikerice, urednike (ne nužno s matematičkom pozadinom), osobe za promociju na društvenim mrežama, osobe za brandiranje i stvaranje branda, dizajnere logotipa i vizualnog identiteta, kao i osobe koje će promocijom na društvenim mrežama uvjeriti “običnu” publiku da matematika nije bauk i da slušanje matematičkog radija može biti izvrsno za opuštanje tijekom radnog dana ili prilikom putovanja u školu, faks ili posao, tijekom vožnje automobilom, tramvajem, autobusom, brodom…

Emisije koje smo već osmislili uključuju “Buđenje uz kombinatornu geometriju”, “Jutarnje vijesti iz teorijske matematike”, “Zadatak dana”, “Vježba iz diferencijalne topologije”, “Stanje u prometu”, “Celebrity kutak: vijesti s matematičke estrade” i “Večer uz harmonijsku analizu”.

Pa kako ti to zvuči?

Cura je to pristojno odbila, ali nisam odmah odustao, možda je privuku još neke emisije…

Ubacit ćemo i Nagradne zadatke iz normiranih prostora i Kviz iz numeričke analize. Jer želimo privući što više slušatelja.

No reply.

Možda kasno navečer “Opuštanje uz dvostruke integrale”.

No reply.

I “Zadatak za laku noć”.

No reply, kao što bi rekli Beatlesi. Nema veze, ja sam svoje napravio. Ali dužan sam objasniti što je Matematički radio i je li to zbilja samo neozbiljna šala ili možda i nešto više.

Kako je sve počelo

Kao što se, recimo, hrvatski jezik u povijesti prvi put spominje u nekom dokumentu na glagoljici, tako se Matematički radio prvi put spominje u jednom informatičkom zadatku. Riječ je o tekstu zadatka Dom (HONI 2012.). U toj priči vlada pokušava zadržati mlade genijalce da ne odlaze u inozemstvo tako što im šalje subliminalne poruke putem matematičkog radija. Nije rečeno kakav je to matematički radio, ali pretpostavlja se da ga mladi genijalci slušaju. Bilo bi odlično, pomislio sam, kad bi zaista postojao takav radio. Slijedeći savjet iz jedne pjesme U2-a (“You can dream, so dream out loud”), odlučio sam o toj ideji i manje-više javno govoriti.

Odakle krenuti? Sjećate se kad su Kumerle i Irena, u odličnoj seriji Bitange i princeze, odlučili krenuti u glazbene vode i napraviti hit pjesmu? Sve je bilo spremno za snimanje golišavog spota, redatelj je zatražio CD da posluša pjesmu prije snimanja, a oni su rekli da još nemaju pjesmu. Redatelj je poludio: kako nemate pjesmu? Zašto onda snimate spot? A Kumerle je mudro odbrusio: Pa moraš od nečeg počet!

E tako sam i ja odlučio krenuti od logotipa. Nacrtao sam ga u stanovitom grafičkom alatu (nije sada važno u kojem) i odmah stavio na fejs:

Screenshot0

Reakcije su bile, recimo to tako, nejasne (mixed reactions). Zaključio sam da mi očito treba bolji logotip, pa sam napravio još tri prijedloga, a usput definirao i radijsku frekvenciju:

Screenshot1

Rekli su mi da trebam smisliti i slogan. Budući da je riječ o edukativnom radiju, predložio sam jednostavno: Matematički radio: slušaj i uči.

Na to mi je prijatelj odgovorio da je bolje Slušaj, šuti i uči. Ili, još bolje: Slušaj i šuti.

Matematički radio: slušaj i šuti

Zadnji update u vezi Matematičkog radija dogodio se kad sam napokon osmislio jedan dnevni program i odlučio ga objaviti.

Screenshot

Možda ste primijetili, a možda i niste, da je post objavljen prvoga travnja. Ispada da je sve šala i zajebancija, zar ne? To je samo dio istine. Matematički radio jest šala i zajebancija, ali on je i mnogo više od toga. Matematički radio je ideja, koncept čija je ljepota očigledna onima koji žive za matematiku i slične znanosti. To je nešto što bi u raju (ako ga ima) sigurno postojalo: Bog ne bi matematičare poslao u raj u kojemu nema Matematičkog radija. To je radijska postaja koju bi većina čitatelja ovog bloga (ako ih ima) sigurno palila prije svih ostalih. To je svjetiljka svoj onoj djeci koju roditelji tjeraju da se idu vani igrati s prijateljima dok im na stolu stoji neriješena nejednakost s državnog 2001. ili sa shortlista 1996. To je ideja koja je sasvim bizarna – matematika je u praksi vizualna, ona se čita/piše, može se i gledati na youtube videima, no vrlo ju je teško samo slušati na nekakvom radiju – ali ta bizarnost Matematičkom radiju daje nadnaravni duh. Poanta radija i jest u njegovoj nevidljivosti i nematerijalnosti, što vrijedi i za matematiku.

Matematički radio trebamo pokrenuti kao spomenik matematici i zato ovo neće biti posljednji post o toj ideji. Prvoaprilske šale mogu potrajati: i ovaj blog (Blogaritam) pokrenut je na prvi april. A čuo sam da je, prema nekim izračunima, i naš svemir nastao na prvi april. Možda je sve ovo jedan veliki Matematički radio.

Digresija: i nula je broj

Anegdote su majka mudrosti. Kada sam se davnih dana natjecao na državnom natjecanju iz logike, bio sam okružen gomilom filozofa, jer natjecanja iz logike i filozofije tada (a možda i danas) održavala su se zajedno. Ništa čudno, rekli bi ljudi, srodne discipline. I jedni i drugi razmišljaju, samo što logičari razmišljaju manje i bolje, a filozofi više i gore. (Ovo “gore” može značiti suprotno od dolje, tj. iznad, gore visokoDa ne bi bilo.)

I tako smo mi državni logičari i filozofi išli busom na izlet. Pokraj mene je sjedio neki filozof. Ne znam kako smo došli do toga, ali on je rekao da nula nije broj. Najprije sam mislio da hoće reći da nula nije prirodan broj, na što sam odgovorio da je to stvar definicije, da većina matematičara zaista definira skup prirodnih brojeva bez nule (1, 2, 3, …), ali da se on može definirati i s nulom. Kao što se krug može definirati tako da uključuje ili ne uključuje kružnicu. Stvar dogovora.

Ali ne, nije on mislio na skup prirodnih brojeva, on je tvrdio nešto mnogo jednostavnije i dublje. Nula nije broj, nikakav broj. I džaba sam mu ja objašnjavao da je nula i cijeli broj, i racionalan, i realan broj i svašta još, nije to njega ništa diralo. Njegov argument bio je tipično filozofski, ovako nešto: nula je ništa – doslovno ništa –  a budući da ništa ne može biti nešto, onda ne može biti ni broj. O ničemu je zapravo nemoguće uopće razmišljati. Možemo pojmiti i minus pi kroz tisuću, i imaginarnu jedinicu, sve su to legitimni brojevi, ali ne i nula, on nije pojam, on je ne-pojam. Možemo ga samo ne pojmiti. Tako nešto, jel.

I eto, mogao sam ja koliko hoću objašnjavati čovjeku da je upravo srušio cijelu matematiku, nije se on ništa uzrujavao, imao je taj miran stav blaženog uvjerenja o nečemu što je za njega potpuno očito. Bilo mu je zbilja čudno što se ja toliko nerviram. U povratku sam sjedio u drugom dijelu autobusa.

To me podsjetilo na još neka slična pitanja o nuli. Recimo, kad nam je u V. gimnaziji matematiku predavao legendarni Pjer Mladinić, na početku sata pitao bi: tko je riješio domaću zadaću? I digli bismo ruke. Onda bi pitao: tko nije riješio zadaću? I neki bi digli ruke. E sad, zanimljiva situacija nastala je kad nije bilo domaće zadaće, a on je opet postavio ista pitanja. Tko ima zadaću, tko nema zadaću. I što sad? Biste li digli ruku da imate zadaću? Ili da je nemate? Ili možda oboje?

Prema Pjerovom viđenju, ispravno je dići ruku u oba slučaja. Imate zadaću jer ste riješili svih nula zadataka, ali istodobno je i nemate jer niste riješili nijedan zadatak.

Moderna predikatna logika (logika prvog reda) svakako bi se složila s prvom tvrdnjom: svaki zadatak iz zadaće je riješen (jer nema zadatka koji nije riješen). Kao što je istinita tvrdnja “svi ljudi na Saturnu imaju tri noge” jer na Saturnu nema ljudi pa tvrdnja zaista vrijedi za svih nula ljudi na Saturnu. Negacija bi bila da postoji čovjek na Saturnu koji nema tri noge, a ona je očito lažna, pa je početna tvrdnja istinita.

Ali manje je jasno je li ispravno reći i nemam zadaću. Jer nije posve jasno što uopće znači ta tvrdnja u slučaju kada nije bilo zadaće. Ako ona znači negaciju od imam zadaću, onda je to laž jer smo već utvrdili da je imam zadaću istina. Po Pjerovom shvaćanju, dakle, nemam zadaću znači nešto drugo. Ako to znači “riješio sam nula zadataka”, to bi zaista bila istina, ali onda ne bi “štimao” slučaj kad su riješena npr. dva od deset zadataka, koji također spada u nemam zadaću. Ako pak znači “nisam riješio sve zadatke”, to je isto kao “postoji zadatak koji nisam riješio”, što je laž u slučaju kada nije bilo zadaće pa ipak ne treba dići ruku. Kako god okrenemo, izgleda da je Pjer pogriješio.

No nisam ni spomenuo da je postojalo i treće pitanje: tko ima djelomično zadaću? (Djelomično u značenju barem 70%, ali ne cijelu.) Je li ta tvrdnja istinita kada nije bilo zadaće? Ovo pitanje ostavljamo čitateljima za domaću zadaću. Htio bih se vratiti na prethodni zaključak: ako nešto nemate, možete reći da imate nula. Tako, recimo, ako na natjecanju niste riješili nijedan zadatak, recite da ste riješili nula zadataka. Ako ste zaboravili novčanik, recite da imate nula novaca. Ako nemate automobil, recite da imate nula automobila. Ako želite iznervirati matematičara, uvjeravajte ga da nula nije broj. Onako kako sam ja to proživio u onom busu.

Koja je poanta ovog posta? Nadam se da je jasno. Ovaj post ima određen broj poanti. Broj, naravno da je broj.